Hệ quả chưa từng có sau lời giải của 3 bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp
Ba bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp đã tìm được giải đáp" kèm với chú thích "Ba bài toán từ thời cổ Hy Lạp thách đố nhân loại hơn 2500 năm đã có được giải đáp chính xác năm 2023 nầy do một người Việt tại Vương quốc Anh tìm ra".
Ba bài toán khó nầy là "Gấp đôi khối vuông" (Doubling the Cube), "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) và "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle), thuộc lãnh vực toán hình học Euclide, được đề xuất lần đầu tiên bằng tiếng Hy Lạp cách đây hơn 2500 năm, vốn có ảnh hưởng cực kỳ lớn đến sự phát triển của hình học. Xưa kia Hy Lạp là quê hương của muôn ngàn những triết gia và nhà khoa học lừng danh. Cách đây hơn 2500 năm, Toán học bắt đầu phát triển mạnh về Hình học với các nhà toán học lừng danh như Euclide, Hypocrates, Pythagoras, Archimedes và Thales…
Cách đây hơn 2500 năm, Toán học bắt đầu phát triển mạnh về Hình học với các nhà toán học lừng danh như Euclide, Hypocrates, Pythagoras, Archimedes và Thales…
Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại cho toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, làm phát triển nhiều phương pháp Toán học và những chủ đề mới của Toán học. Trong số những chủ đề nầy có 3 vấn nạn toán học do Toán học cổ đại Hy Lạp đưa ra thách thức (challenge) nhân loại cách đây hơn 2500 năm và mãi cho đến năm 2022 vẫn chưa có nhà toán học nào phát minh được lời giải đúng. Đó là 3 thách thức Hình học cổ điển rất đơn giản và rất dễ hiều như sau :
1. Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle),
2. Chia ba một góc (Trisecting an Angle) và
3. Gấp đôi khối vuông (Double the Cube)
với điều kiện giới hạn là "chỉ được dùng thước thẳng (straight edge) và com-pa (compass) để kiến tạo đáp số (construct the solution).
Bất cứ ai học xong Hình học (Geometry) ở bậc trung học đều có thể hiểu 3 đầu đề nói trên, nhưng vì điều kiện giới hạn của 3 bài toán thách thức nầy mà chưa ai giải được nó trong suốt hơn 2 thiên kỷ rưỡi vừa qua.
Mãi cho đến năm nay 2023, một nhà toán học Việt Nam, ông Trần Đình Sơn, tỵ nạn tại Vương quốc Anh từ năm 1984 đã tìm ra được giải đáp đúng 100% (chứ không phải giải đáp gần đúng) cho 3 thách thức Toán học thiên niên kỷ (millennium challenge) nầy. Ba phát minh vĩ đại nầy đã được các viện quốc tế về Toán công nhận và xuất bản trên Tạp chí Quốc tế về Xu hướng và Công nghệ Toán học (The International Journal of Mathematics Trends and Technology, viết tắt là IJMTT) vào tháng 5, tháng 6 và tháng 8/2023 vừa qua.
Theo ông Trần Đình Sơn, 3 bài toán này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau và có cùng một chìa khóa để mở ra lời giải và chìa khóa đó nằm trong ý tưởng (idea) của Đạo Đức Kinh của triết gia Lão Tử (*) : "Đại Đạo rất là đơn giản, rất giản dị" !
Nhiều định chế toán học quốc tế đã xuất bản 3 công trình phát minh ra lời giải nói trên và truyền thông Anh ngữ (English media) cũng đã loan tin rầm rộ (xem phần tham khảo ở cuối).
Chia ba một góc
Phép "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) thành 3 phần bằng nhau là một bài toán cổ điển với yêu cầu chỉ sử dụng hai công cụ : thước thẳng (straightedge không chia độ) và compa (compass). Thật khó để đưa ra ngày tháng chính xác về thời điểm bài toán chia ba góc xuất hiện lần đầu tiên. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng Hippocrates, cũng đã nghiên cứu bài toán chia ba một góc, nhưng đã sử dụng một dấu trên thước thẳng để làm cho cây thước không còn là một thước thẳng nữa. Hầu hết các nhà sử học Toán học tin rằng nhiều kết quả đưa ra trong sách Bổ Đề thực sự là do Archimedes và kết quả trên đường xoắn ốc đưa ra về việc chia ba một góc rất phù hợp với tinh thần của tác phẩm nầy. Tuy nhiên, phép chia ba này của Archimedes không phải là một phương pháp chính xác và không sử dụng thước thẳng như đề toán nầy yêu cầu. Phương pháp khác do Nicomedes đưa ra sử dụng đường cong conchoid, nhưng đường cong này không thể vẽ chính xác và mang tính lý thuyết hơn là thực tế. Rõ ràng, cách chia ba góc của Hippocrates, Archimedes hoặc sử dụng conchoid của Nicomedes (khoảng năm 200 trước Công nguyên) là đúng nhưng không tuân theo "luật chơi" tức là sử dụng thước thẳng và compa. Có thể họ đã nghĩ ra đủ mọi cách nhưng không làm được nên phải tự nghĩ ra cách riêng để giải quyết vấn đề này. Về sau, có rất nhiều nỗ lực của các thế hệ nhà Toán học nối tiếp nhau đều không làm được nên họ đã nghĩ ra nhiều cách khác nhau và nhờ đó Toán học có cơ hội phát triển.
Nhà toán học Pháp là Pierre Wantzel đã chứng minh vào năm 1837 rằng bài toán, như đã nêu, không thể giải được với các góc tùy ý. Năm 1837, Wantzel công bố bằng chứng trên Tạp chí Liouville về "các phương pháp xác định xem một bài toán hình học có thể giải được bằng thước thẳng và compa hay không", và ông là người đầu tiên chứng minh việc chia ba một góc không thể giải được bằng thước thẳng và compa. Nhưng nhà toán học Việt Nam nầy đã sử dụng thước thẳng và compa để xây dựng đáp số và chứng minh có thể chia ba một góc tùy ý một cách đơn giản mà không cần sử dụng bất kỳ đường cong nào, với công cụ toán học là một số định đề & định lý hình học ở cấp Trung học. Kết quả nầy là một phản chứng (counter-proof) cho phương pháp của Pierre Wantzel. Kết quả của phát minh nầy là lời giải chính xác cho thử thách hàng ngàn năm "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) chỉ dùng một thước thẳng, một compa và các định đề & định lý Hình học ờ cấp Trung học Phổ Thông, chứ không hề dùng các phương pháp Toán phức tạp & khó khăn từ cấp Đại học trở lên. Do đó, bất cứ người nào đã học xong Toán Hình học ờ bậc Trung học cũng có thể đọc và hiểu được phát minh nầy (Tạp chí Toán học Quốc tế/IJMTT số ra ngày 17/06/2023).
Làm vuông hình tròn
Đáp án toán học cho bài toán "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) là phát minh thành công thứ hai của nhà toán học Việt Nam nói trên (Tạp chí Toán học Quốc tế/IJMTT số ra ngày 17/06/2023). Lịch sử của bài toán "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) bằng thước thẳng và compa đã có từ hàng thiên niên kỷ - trước 450 trước Công nguyên (gần 2.500 năm), theo Quanta, một tạp chí khoa học và toán học. Từ xưa cho đến nay, các bài toán liên quan đến số π đã thu hút sự quan tâm của vô số nhà chuyên môn toán và các nhà toán học không chuyên nghiệp.
Gấp đôi khối vuông
Trong hình học Euclide cổ điển, người ta đã chứng minh rằng việc "Gấp đôi khối vuông" (Doubling the Cube) bằng hai công cụ "thước thẳng & compa" là không thể. Điều không thể xảy ra này bắt nguồn từ thực tế là căn bậc ba của số 2 (cần thiết để gấp đôi khối lập phương) không thể tạo dựng (construct) được chỉ bằng thước thẳng và compa. Việc xây dựng yêu cầu tìm độ dài bằng căn bậc ba của số 2, là một số siêu việt (irrational). Nhiều nỗ lực khác nhau đã được thực hiện trong suốt lịch sử để giải quyết vấn đề, nhưng chúng liên quan đến các kỹ thuật toán học tiên tiến hơn ngoài các công trình cổ điển. Những phương pháp này thường liên quan đến các khái niệm đại số hoặc hình học vượt ra ngoài phạm vi của cách tạo dựng (construction) hình học bằng thước thẳng và compa truyền thống.
Cho đến năm 2022, không có giải pháp chính xác nào cho thách thức "Gấp đôi khối vuông" chỉ bằng thước thẳng và compa, dựa trên hình học Euclide cổ điển. Công bằng mà nói thì mặc dù bài toán "Làm vuông hình tròn" đã trở nên nổi tiếng nhất ở thời hiện đại, nhưng chắc chắn bài toán "Gấp đôi khối vuông" còn nổi tiếng hơn vào thời Hy Lạp cổ đại. Thử thách "Gấp đôi khối vuông" yêu cầu một phương pháp xây dựng một khối vuông có thể tích gấp đôi khối vuông đã cho. Điều đó có nghĩa là nếu thể tích khối vuông đã cho là 1 đơn vị thể tích 1 mét khối thì chúng ta phải tạo dựng một khối vuông có cạnh ∛2 từ khối vuông đơn vị đã cho này, chỉ sử dụng compa và thước thẳng. Việc tạo dựng khối vuông có cạnh ∛2 đã từng được cho là không thể thực hiện được theo những hạn chế đã nêu của hình học Euclide.
Bất chấp nỗ lực của nhiều nhà toán học, bài toán này vẫn chưa được giải quyết trong hơn hai nghìn năm và nó trở thành một trong những bài toán chưa giải nổi tiếng và hấp dẫn nhất trong lịch sử toán học. Nó vẫn được nghiên cứu trong các khóa học toán học như một vấn đề mang tính lịch sử và đầy thách thức, đồng thời lời giải của nó tiếp tục truyền cảm hứng và ảnh hưởng đến các nhà toán học cũng như sinh viên. Nhà toán học người Pháp Pierre Wantzel, 1837, đã chứng minh rằng không thể nhân đôi một khối vuông chỉ bằng thước thẳng và compa.
Nhưng trong phát minh thứ 3 nầy của nhà toán học Việt Nam nói trên về việc kiến tạo một khối vuông có thể tích gấp đôi một khối vuông cho sẵn, với một độ chính xác 100% đã được chứng minh cũng bằng Hình học ở cấp Trung học và đã được quốc tế thừa nhận và xuất bản cho toàn cầu vào tháng 8/2023 vừa qua. Các kết quả thu được có thể kết luận rằng tuyên bố về tính không thể của Pierre Wantzel không có giá trị về mặt hình học, vì nó không đưa ra mối quan hệ hình học giữa bậc hai và phần mở rộng bậc ba. Nhà toán học Việt Nam nầy đã tuân thủ nghiêm ngặt các ràng buộc trong việc sử dụng thước thẳng và compa để phát triển một phương pháp giải chính xác bài toán "Nhân đôi khối lập phương" bằng hình học theo một kỹ thuật đặc biệt (Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) ).
***
Làm tròn hình vuông (Circling the Square)
Sau gần một năm được các định chế quốc tế toán học xuất bản 3 phát minh đó, tác giả Trần Đình Sơn đã lập thêm một kỳ tích mới phát sinh từ 3 lời giải nói trên. Gọi là mới vì đề tài nầy phát sinh, vào tháng 1/2024 nầy, từ lời giải năm 2023 của 3 bài toán cổ Hy Lạp nói trên, chỉ khác là đặt vấn đề ngược lại với 1 trong 3 bài toán cổ "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) thành bài toán "Làm tròn hình vuông" (Circling the Square). Nói rõ hơn thì đề tài nghiên cứu nầy có tên là "Hãy dùng thước thẳng và com-pa kiến tạo một hình tròn có diện tích bằng đúng với hình vuông đã cho sẵn" (Use straightedge and compass to construct the circle that has exactly area equal to the given square).
Giải đáp phản ánh sự trung thực của bài toán (Trần Đình Sơn) - Ảnh minh họa
Đề tài nghiên cứu đơn giản như vậy nên bất cứ ai đã học qua môn Hình học sơ cấp bậc trung học đều hiểu rõ đề tài rất dễ dàng. Tuy vậy, cái khó là chỉ được dùng phương pháp Hình học Kiến tạo (Construction Geometry) với 2 dụng cụ duy nhất là thước thẳng (straightedge) và compa (compass) để tạo hình tròn đúng chính xác 100% cho lời giải, chứ không được dùng Số học, Đại số học hay các phép tính trong toán học để giải. Bởi vì, tính toán chỉ cho ra kết quả gần đúng, chứ không đúng chính xác 100% do số Pi (p) và căn bậc 2 (square root) không phải là những số đúng (irrational number), nên không cho được kết quả đúng. Lời giải đúng và chính xác 100% cho thách thức mới nầy cũng đã được ông Trần Đình Sơn tìm thấy trong tháng Giêng năm 2024 nầy và đã được xuất bản quốc tế Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) .
Tóm lại, những bài toán thách thức cổ điển này cực kỳ quan trọng trong sự phát triển của hình học. Ba bài toán như vậy đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà hình học sau này đến nỗi chúng được gọi là những "bài toán cổ điển" vĩ đại : "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle), "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) và "Gấp đôi khối vuông" (Double the Cube". Vào năm 2023, chúng đã được giải quyết chính xác bởi một người Việt tỵ nạn thuộc thế hệ thứ nhất tại Vương quốc Anh và phát minh nầy đã được quốc tế thừa nhận & xuất bản như một phát minh Toán rất vĩ đại của thế kỷ 21. Tiếp theo đó nhà nghiên cứu toán học nầy đã mở ra một dự án (projet) mới cho ngành toán Hình học Euclide mà dự án nầy chỉ mới hình thành từ tháng Giêng 2024 do hậu quả phát sinh từ 3 phát minh trước đó của tác giả vào năm 2023 trước đó.
Bài toán "Làm tròn hình vuông" (Circling the Square) là bài toán đầu tiên của dự án đã được giải rõ và đã được quốc tế xác nhận (Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry - ijmttjournal.org). Theo nhận định của giới nghiên cứu toán học quốc tế thì dự án nầy gồm hơn một chục đề tài nghiên cứu như, ‘Làm vuông một ngũ giác đều ; Làm vuông một lục giác đều ; Chia hai một khối lập phương ; Làm tròn một ngũ giác dều ; Làm tròn một lục giác đều ; v.v. và v.v.
Đến tháng 4/2024 thì nhà toán học nầy đã được quốc tế đề cử làm ứng viên (candidate) cho 2 giải thưởng quốc tế là giải ABEL và giải ACM AWARD. Hiện giờ Google đã phổ biến các công trình phát minh nói trên khá rầm rộ trên Internet (xem trong Thư mục bên dưới).
Lan Tâm
(04/05/2024)
Chú thích :
(*) Lao Tzu (Author of Tao Te Ching) : "The great Tao is very simple, very simple !" (Lão Tử - tác giả Đạo Đức Kinh : "Đại Đạo rất là đơn giản, rất giản dị").
Thư mục tham khảo :
[01] 1st Invention, "Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 22 May 2023, Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry (ijmttjournal.org)
[02] 2nd Invention, "Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 17 June 2023,
[03] 3rd Invention, "Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 29 August 2023, Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) ,
[04] 4th Invention,
* International Journal of Mathemathics Trends and Technology : "Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry", by Tran Dinh Son. IJMTT published date : 31 January 2024 Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)
* International Journal of Recent Advances in Multidisciplinary Reaserch - IJRAMR, published date : 30 March 2024. Abstract ; Full article paper ; Current Issue No. 4
[05] Cornel Unversity Library , ZoteroBib : Fast, free bibliography generator - MLA, APA, Chicago, Harvard citations (zbib.org)
[06] Academia, (3) Son Tran - Academia.edu
[07] The Semantic Scholar, https://www.semanticscholar.org/me/library/all
[08] www.academia.edu › 103490898 › Exact_Angle Exact Angle Trisection with Straightedge and compass in Euclidean Geometry, Academia.edu , https://www.academia.edu/103490898/Exact_Angle_Trisection_with_Straightedge_and_Compass_by_Secondary_Geometry
Aug 30, 2023, Tran Dinh Son. Published in International Journal of… 30 August 2023. Mathematics - This independent research shows an exact precision and accurate solution for the ancient Greek
[10] Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry
[11] Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry
[12] All article papers here
[13] Dinh Son, Tran. ‘Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 70, no. 1, Jan. 2024, pp. 16–26. DOI.org (Crossref)
[14] Son, Tran Dinh. ‘Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 8, Aug. 2023, pp. 45–54.
[15] ‘Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, June 2023, pp. 39–47, DOI.org (Crossref)
[16] ijmttjournal.org › public › assets Circling the Square with Straightedge and Compass in ... , Tran Dinh Son United Kindom. Corresponding Author : Cette adresse e-mail est protégée contre les robots spammeurs. Vous devez activer le JavaScript pour la visualiser. Received : 29 November 2023 Revised : 02 January 2024 Accepted : 16 January 2024 Published : 31 January 2024 Abstract - There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics which are extremely influential in the development of Geometry.
[17] International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, pp. 39-47, 2023. [ CrossRef ] [Google Scholar] [Publisher Link ].ijmttjournal.org › archive › IJMTT-V70I1P103 Circling the Square with Straightedge and Compass in... Tran Dinh Son,"Exact Squaring … with Straightedge and Compass by Secondary Geometry".
[18] ijmttjournal.org › archive › ijmtt-v69i6p506 Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Apr 16, 2023, Tran Dinh Son Abstract There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics, which are extremely influential in the development of geometry. They are "Trisecting An Angle", "Squaring The Circle", and "Doubling The Cube" problems.
[19] www.researchgate.net › publication › 372388943_Exact Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Jun 30, 2023, Download Citation | On Jun 30, 2023, Tran Dinh Son published Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry | Find, read and cite all the research you need on...
Keywords - Squaring the circle, Quadrature of the circle, Make a circle squared, Find a square area same as the circle, Circling the square, Make a square rounded. 1. Introduction Doubling a cube, trisecting an angle, and squaring the circle are the problems in geometry first proposed in Greek mathematics, which were extremely influential in the development of Geometry.
[21] www.academia.edu › 103490762 › Exact_Squaring_the Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Tran Dinh Son / IJMTT, 69(6), 39-47, 2023 Results of my independent research show that the square ABCD, constructed by compass & straightedge, has the exact area r², therefore if the given…
