Thông Luận

14 comments

• Comment Link mercredi, 19 juin 2024 22:05 posted by Hoàng Trường Sa

  Trong phần cuối này, tôi sẽ tính diện tích viên phân cạnh a’b’ của vòng tròn (O, s) và diện tích cung - conic vuông Aa’h’ và so sánh để kiểm chứng là hai diện tích này bằng nhau như Định lý 1 đã kết luận. Điều này cho thấy Định lý 1 đúng nhưng Định lý 2 sai.
  
  Trước hết, nhắc lại rằng ta có:
  
  |Oa’| = |Ob’| = |Oh’| = s = a/√π;
  
  |a’b’| = L = a√[(4 - π)/π];
  
  OM = a/2;
  
  |h’a’| = (a - L)/√2 = a{1 - √[(4 - π)/π]}/√2 = a[√π - √(4 - π)]/√(2π).
  
  Gọi u là góc a’Ob’ (tính bằng độ), thì tam giác vuông a’MO cho ta:
  
  sin(u/2) = |a’M|/|Oa’| = (a/2)√[(4 - π)/π] /(a/√π) = √[(4 - π)/4].
  
  Do đó: u/2 = arcsin(√[(4 - π)/4])
  
  Hay: u = 2 arcsin(√[(4 - π)/4]).
  
  Trong đó arcsin là hàm số nghịch của hàm sin và thường được biết là sin^(-1).
  
  Do đó:
  
  Diện tích hình quạt tròn a’Ob’ = (u/360) x Diện tích vòng tròn (O, s)
  
  = (2/360)arcsin(√[(4 - π)/4]) x a²
  
  = (a²/180)arcsin(√[(4 - π)/4]).
  
  Diện tích tam giác a’Ob’ = (1/2) x |a’b’| x OM
  
  = (1/2) x a√[(4 - π)/π] x (a/2)
  
  = (a²/4)√[(4 - π)/π].
  
  Diện tích viên phân cạnh a’b’ = Diện tích hình quạt tròn a’Ob’ - Diện tích tam giác a’Ob’
  
  = (a²/180)arcsin(√[(4 - π)/4]) - (a²/4)√[(4 - π)/π]
  
  = (a²/4){(1/45)arcsin(√[(4 - π)/4]) - √[(4 - π)/π]} (1)
  
  = 0.0226364922 a². (1’) (sử dụng một scientific calculator)
  
  Tương tự, gọi v là góc h’Oa’ và V là trung điểm của cạnh h’a’. Ta có:
  
  sin(v/2) = |h’V|/|Oh’| = (1/2)|h’a’|/|Oh’|
  
  = {(a/2)[√π - √(4 - π)]/√(2π)}/{a/√π} = [√π - √(4 - π)]/(2√2).
  
  Suy ra, trước hết:
  
  cos(v/2) = √{1 – sin^2(v/2)} = √{1 – ([√π - √(4 - π)]/(2√2))^2}
  
  = √[(4 + 2√(π(4 – π))/8] = (1/2)√{2 + √[π(4 – π)]}.
  
  OV = |Oa’|cos(v/2) = (a/√π) x (1/2)√{2 + √[π(4 – π)]}
  
  = (a/2√π)√{2 + √[π(4 – π)]}
  
  Ngoài ra:
  
  v = 2arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)}.
  
  Diện tích hình quạt tròn h’Oa’
  
  = (v/360) x Diện tích (O, s) = (a²/180)arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)}.
  
  Diện tích viên phân cạnh h’a’ = Diện tích quạt tròn h’Oa’ - (1/2) |h’a’| x OV
  
  = (a²/180)arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)} – (1/2) x a[√π - √(4 - π)]/√(2π) x (a/2√π)√{2 + √[π(4 – π)]}
  
  = (a²/4){(1/45) arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)} – (1/π√2)[√π - √(4 - π)]√{2 + √[π(4 - π)]}.
  
  Diện tích tam giác vuông cân Aa’h’ = (1/2)|Oa’|^2
  
  = (1/2){(a - a√[(4 – π)/π])/2}^2
  
  = (a²/8){1 - √[(4 – π)/π]}^2 = (a²/8π)[√π - √(4 – π)]^2.
  
  Do đó, diện tích cung - conic vuông Aa’h’ là:
  
  (a²/8π)[√π - √(4 - π)]^2 - (a²/4){(1/45)arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)} – (1/π√2)[√π - √(4 - π)]√{2 + √[π(4 – π)]}
  
  = (a²/4){(1/2π)[√π - √(4 - π)]^2 + (1/π√2)[√π - √(4 - π)]√(2 + √[π(4 – π)]) - (1/45)arcsin([√π - √(4 - π)]/(2√2))}. (2)
  
  = 0.0226364922 a². (2’) (sử dụng một scientific calculator)
  
  So sánh (1’) và (2’), ta thấy diện tích viên phân loại 1 bằng diện tích cung - conic vuông như khẳng định trong phần c), Định lý 1, của tác giả Trần Đình Sơn.
• Comment Link mercredi, 12 juin 2024 19:05 posted by Đông Hà

  Ba bài toán cổ Hy Lạp từ lâu đã được chứng minh là không thể giải được (Wantzel-1837, Lindemann-1882).
  Hiện nay ta có thể tìm hiểu tại sao mấy bài toán này lại không thể giải được trong các sách giáo khoa về đại số ở đại học.
  
  Tỷ dụ cuốn Abstract Algebra (Charles.C.Pinter) đã dành chương 30 (Ruler and Compass) để giới thiệu về ba bài toán cổ này, cùng với các định lý chứng minh rằng:
  - nhân đôi khối vuông (định lý 2),
  - chia ba một góc (định lý 3),
  - làm vuông hình tròn (định lý 4)
  bằng thước thẳng và com-pa là bất khả.
  
  Nhiều sách đại số khác, tỷ dụ
  - Modern Algebra (John.R.Durbin)
  - Contemporary Abstract Algebra (Joseph.A.Gallian) ,
  trong các chương về Geometric Constructions cũng có nói đến đề tài này và giải thích lý do tại sao lại là bất khả.
  
  Tuy nhiên vì nội dung ba bài toán này rất dễ hiểu, cho nên nhiều người vẫn không tin là không thể giải nổi, vẫn tiếp tục công việc tìm tòi, và dĩ nhiên là vẫn tiếp tục thất bại.
  Có vài cuốn để đọc cho vui về những trường hợp này: “A Budget of Paradoxes” (A. De Morgan), “A Budget of Trisections” (U.Dudley).
• Comment Link mercredi, 05 juin 2024 02:09 posted by Hoàng Trường Sa

  Đây là phần tiếp theo của ý kiến ngày 01/06/2024 của tôi. Mục đích của phần này là chứng minh rằng nếu có một hình tròn (O, s) đồng tâm với hình vuông ABCD, cạnh bằng a, và có cùng diện tích a² với ABCD, thì hình bát giác do (O, s) và ABCD tạo ra sẽ không đều, vì các cạnh loại 1 của nó dài hơn các cạnh loại 2. Hậu quả là vòng tròn (O, a/2) sẽ không phải là vòng tròn nội tiếp của hình bát giác này. Do đó, (O, a/2) không thể dùng làm Thước Kiến Tạo để giải bài toán “Làm tròn hình vuông” theo cách của tác giả Trần Đình Sơn.
  
  Cho một hình vuông ABCD, tâm O, cạnh bằng a. Giả sử có một vòng tròn (O, s) cùng diện tích a² với hình vuông ABCD, thì điều chắc chắn là s > r = a/√(2 + √2), bán kính của vòng tròn (O, r) của tác giả Trần Đình Sơn như trình bày trong ý kiến trước. Vòng tròn (O, s) cũng cắt hình vuông ABCD tại 8 điểm a’, b’, c’, d’, e’, f’, g’, h’. Gọi L là chiều dài của cạnh |a’b’|, có trung điểm là trung điểm M của AB. Định lý Pythagore áp dụng cho tam giác vuông a’MO cho ta:
  
  s² = |Oa’|² = |OM|² + |Ma’|² = (a/2)² + (L/2)² = (a² + L²)/4.
  
  Vì diện tích của (O, s) là πs² = a², ta có:
  
  πs² = π(a² + L²)/4 = a² a² + L² = 4a²/π.
  
  Do đó: L² = 4a²/π - a² = a²(4/π – 1) = a²(4 - π)/π
  
  Do đó: L = a√[(4 - π)/π] (4)
  
  Để thấy L > l, cạnh của hình bát giác đều abcdefgh trong ý kiến của tôi ngày 01/06/2024, ta viết những mệnh đề tương đương ({=}) sau đây vì các số a, π, 4 - π, √2, đều > 0:
  
  L = a√[(4 - π)/π] > l = a/(1+√2) {=} √[(4 - π)/π] > 1/(1 +√2)
  
  {=} √(4 – π)/√π > 1/(1 +√2)
  
  {=} (1 +√2)√(4 – π) > √π
  
  {=} (1 + √2)²(4 – π) > π
  
  {=} (3 + 2√2)(4 – π) > π
  
  {=} 12 - 3 π + 8√2 - 2√2 π > π
  
  {=} √2(8 - 2π) > 4π – 12
  
  {=} 2(64 + 4π² - 32 π) > 16π² + 144 - 96π
  
  {=} 128 + 8π² - 64π > 16π² + 144 - 96π
  
  (=} 0 > 8π² - 32π + 16
  
  {=} 0 > π² - 4π + 2 (5)
  
  Bất đẳng thức (5) đúng vì P(x) = x² - 4x + 2 có hai nghiệm số là x = 2 - √2
  và x = 2 + √2 nên P(π) trái dấu với hệ số 1 của x² vì π nằm trong khoảng 2 nghiệm số này. Do đó L > l.
  
  Vì |ha| = (a – l)/√2 và |h’a’| = (a – L)/√2 nên L>l ==> |ha| > |h’a’|.
  
  Nhưng |ha| = l nên cạnh (loại 2) |h’a’| của hình bát giác a’b’c’d’e’f’g’h’ sẽ nhỏ hơn l và do đó nhỏ hơn L (cạnh loại 1). Vậy hình bát giác a’b’c’d’e’f’g’h’ là một hình bát giác không đều (các cạnh loại 1 dài hơn các cạnh loại 2) và do đó không nhận vòng tròn (O, a/2) làm vòng tròn nội tiếp. Nói rõ hơn, do khoảng cách từ O tới trung điểm của h’a’ lớn hơn a/2, vòng tròn (O, a/2) không tiếp xúc với h’a’. Tương tự, (O, a/2) không tiếp xúc với b’c’, d’e’, f’g’.
  
  Như vậy (O, a/2) không thể dùng làm Thước Kiến Tạo để dùng compa và thước thẳng vẽ ra vòng tròn (O, s) có diện tích bằng a² cho bài toán “Làm tròn hình vuông”, và bài toán vẫn chưa giải được.
• Comment Link mardi, 04 juin 2024 16:48 posted by Đông Hà

  Trong bình luận ngày 1/6/2024, khi nhận xét về bài “Làm tròn hình vuông”, tôi đã chứng minh rằng hình bát giác abcdefgh không phải là một hình bát giác đều, cho nên định lý 2 (trang 20) trong bài này là sai.
  Các định lý sau chỉ là những ứng dụng của định lý 2 nói trên, cho nên một khi định lý 2 đã sai, thì những định lý khác dựa vào đó cũng không còn có thể sử dụng được.
  Do đó “Thước Kiến Tạo” cho bài “Làm tròn hình vuông” không dùng được.
  
  Một bài khác của Trần Đình Sơn có liên hệ mật thiết với bài “Làm tròn hình vuông” là bài “Làm vuông hình tròn” (Exact Squaring the Circle…”, IJMTT, 6/2023).
  Bài này cũng có định lý 2 (trang 42) tương tự như định lý 2 trong bài “Làm tròn hình vuông”, với nội dung là giao điểm của một hình vuông và một vòng tròn, cùng tâm và cùng diện tích, sẽ tạo ra một hình bát giác đều.
  Định lý này cũng không đúng vì hình bát giác này không phải là một hình bát giác đều. Ta có thể chứng minh điều này như cách đã chứng minh về bài “Làm tròn hình vuông” trong bình luận ngày 1/6..
  Do đó “Thước Kiến Tạo” cho bài “Làm vuông hình tròn” cũng không dùng được.
• Comment Link samedi, 01 juin 2024 15:04 posted by Đông Hà

  Định lý 2 (trang 20) trong bài “Làm tròn hình vuông” (Circling the Square, ỊJMTT, 1/2024) của Trần Đình Sơn cho rằng hình bát giác abcdefgh là một hình bát giác đều.
  Thực ra điều này không đúng. Hình bát giác abcdefgh là một hình bát giác không đều.
  Dưới đây là phần chứng minh.
  Hình vẽ được sử dụng là hình 2, trang 18, trong bài trên.
  
  Cho ABCD là một hình vuông tâm O, mỗi cạnh = 1.
  Cho (O, r) là một vòng tròn tâm O, bán kính r, sao cho πr² = 1.
  Các giao điểm của ABCD với (O, r) sẽ tạo ra một hình bát giác abcdefgh. Để tiện cho việc trình bày, giả sử rằng cạnh ab của hình bát giác abcdefgh nằm trùng với cạnh AB của ABCD.
  Gọi M là trung điểm của AB, như thế M cũng là trung điểm của ab.
  Áp dụng đinh lý Pythagoras đối với tam giác vuông aOM:
  Ta có |aM|² = |aO|² - |MO|² = r² - (1/2)² = r²-1/4.
  Do đó |aM| = √(r²-1/4).
  Do đó |ab| = 2|aM| = 2√(r²-1/4).
  
  Mặt khác, |Aa| = |AM| - |aM| = 1/2 - √(r²-1/4).
  Xét tam giác vuông Aha. Vì tính đối xứng của hình vuông và vòng tròn trong hình vẽ, tam giác Aha cũng là một tam giác cân tại A.
  Do đó |ha| = |Aa| √2 = √2(1/2 - √(r²-1/4)).
  
  Bây giờ so sánh hai cạnh ha và ab của hình bát giác abcdefgh.
  Ta sẽ chứng minh |ha| ≠ |ab| bằng phương pháp proof by contradiction.
  Giả thiết |ha| = |ab|.
  Với giả thiết này, ta sẽ có √2(1/2 - √(r²-1/4)) = 2√(r²-1/4).
  Do đó √2/2 - √2√(r²-1/4)) = 2√(r²-1/4).
  Do đó √(r²-1/4)(2+√2) = √2/2.
  Do đó √(r²-1/4) = √2/2(2+√2).
  Do đó r²-1/4 = 2/4(2+√2)².
  Sau khi triển khai và đơn giản hóa, r² = 1/(2+√2).
  Như trên có nói, πr² = 1. Do đó π = 1/ r² = 2+√2.
  
  Điều này cho thấy π là một số đại số, nhưng cũng chính vì thế mà nó mâu thuẫn với sự thực mà ta đã biết từ trước là π là một số siêu việt.
  Do đó giả thiết |ha| = |ab| là sai. Do đó |ha| ≠ |ab|.
  Do đó abcdefgh là một hình bát giác không đều.
• Comment Link samedi, 01 juin 2024 11:31 posted by Hoàng Trường Sa

  Cho một hình vuông ABCD, tâm O, cạnh bằng a. Hình vuông này có vòng tròn nội tiếp là vòng tròn (O, a/2) tiếp xúc với nó lần lượt tại trung điểm M, N, P, Q của AB, BC, CD, và DA. Hình vuông ABCD có vòng tròn ngoại tiếp là vòng tròn (O, a/√2).
  
  Như nhận xét của tác giả Trần Đình Sơn, nếu có một vòng tròn (O, r) có diện tích bằng với diện tích a^2 của hình vuông ABCD thì vòng tròn này phải nằm trong hình vành khăn (annulus) giới hạn bởi vòng tròn trong là (O, a/2) và vòng tròn ngoài là (O, a/√2), vì ∏r² = a² nằm giữa ∏a²/4 và ∏a²/2. Từ nhận định này, tác giả cố gắng dùng Hình học Kiến tạo (Construction Geometry) để tìm vị trí chính xác của vòng tròn (O, r) bằng cách chỉ sử dụng compa và thước thẳng qua trung gian của hình bát giác abcdefgh mà (O,r) và hình vuông ABCD tạo ra.
  
  Do sơ sót (flaw) trong chứng minh Định lý 2, tác giả đi tới kết luận rằng hình bát giác abcdefgh là một bát giác đều có vòng tròn (O,a/2) là vòng tròn nội tiếp mà tác giả gọi là THƯỚC KIẾN TẠO của bài toán LÀM TRÒN HÌNH VUÔNG. Từ thước kiến tạo (O, a/2), dùng compa và thước thẳng ta có thể vẽ ra (kiến tạo) bát giác đều abcdefgh. Vòng tròn đáp số của bài toán sẽ là vòng tròn tâm O bán kính là khoảng cách (bằng nhau) từ O tới các đỉnh a, b, c, d, e, f, g, h.
  
  Tiếc thay, như bạn NTT đã chỉ ra, vòng tròn này có diện tích nghiêm túc nhỏ hơn (strictly smaller than) a^2. Diện tích của nó chỉ khoảng độ 92% của a^2 mà thôi. Nên là đáp số sai. Dĩ nhiên, để tìm đáp số đúng, ta phải dùng vòng tròn (O, s) khác, với bán kính s lớn hơn bán kính r của vòng tròn (O, r) nói trên. Vòng tròn (O, s) này cũng ngoại tiếp với một hình bát giác a’b’c’d’e’f’g’h’ khác, nhưng là một hình bát giác không đều, với 4 cạnh nằm trên cạnh của hình vuông (mà tôi gọi là cạnh loại 1) dài hơn 4 cạnh nằm đối diện với 4 góc vuông A, B, C, D, (mà tôi gọi là cạnh loại 2).
  
  Trong loạt ý kiến này, tôi sẽ lần lượt chứng minh những điều tôi vừa nói. Đó là, trước hết tìm chiều dài “l” (lờ nhỏ) của cạnh |ab| sao cho abcdefgh là một hình bát giác đều, và chứng minh lại rằng với chiều dài “l” bằng nhau của 8 cạnh của bát giác này, nếu tính diện tích của vòng tròn (O,r) thì tỷ số giữa hai diện tích của vòng tròn (O,r) và hình vuông ABCD là nghiêm túc nhỏ hơn 1, như công thức do bạn NTT đưa ra trước đây. Kế đó, tôi sẽ thay chiều dài “l” này bằng chiều dài “L” (lờ lớn) sao cho diện tích của vòng tròn tương ứng (O, s) ngoại tiếp với hình bát giác do (O, s) và ABCD tạo ra sẽ có diện tích chính xác là a^2, diện tích của hình vuông ABCD. Buồn thay, vòng tròn (O, s) này lại có bán kính là s = a/√∏, một điều ai cũng biết trước. Vòng tròn (O, s) này và hình vuông ABCD tạo ra một hình bát giác không đều abcdefgh mới, và không còn có (O, a/2) là vòng tròn nội tiếp, do đó (O, a/2) không còn đóng được vai trò của một THƯỚC KIẾN TẠO. Nói cách khác, ta không còn có thể dùng (O, a/2) để vẽ ra vòng tròn (O, s) bằng compa và thước thẳng, và một lần nữa cho thấy bài toán “Làm tròn hình vuông” đặt ra theo tinh thần cổ xưa của các toán gia Hy Lạp cổ (với đòi hỏi chỉ được phép dùng compa và thước thẳng) vẫn chưa được giải xong theo cách “trung học” này.
  
  Ngoài ra, tôi sẽ dùng các phép tính giải tích thông thường để chứng minh là với vòng tròn (O, s) nói trên, chẳng những diện tích của nó bằng diện tích của hình vuông ABCD mà diện tích của các cung-conic vuông cũng bằng với diện tích của các viên phân loại 1 (tức là các viên phân có cạnh nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD). Nói cách khác, xác nhận lại rằng Định lý 1 của tác giả Trần Đình Sơn là hoàn toàn đúng và cách chứng minh bằng lý luận hình học của tác giả là rất đẹp (very elegant).
  
  Như đã nói trên đây, vòng tròn (O, r) với bán kính r lớn hơn a/2 và nhỏ hơn a/√2 sẽ cắt hình vuông ABCD tại 8 điểm a, b, c, d e, f. Gọi “l” là chiều dài của cạnh |ab| (Hình 9, trang 23 trong bài “Làm tròn hình vuông” của tác gìả Trần Đình Sơn). Tôi sẽ tính l theo a sao cho abcdefgh là một hình bát giác đều.
  
  Do tính đối xứng của hình vẽ, ta có:
  
  |Aa| = |bB| = |Bc| = |dC| = |Ce| = |fD| = |Dg| = |hA|.
  
  Vì |Aa| = |bB| và |ab| = l nên:
  
  |Aa| = (a – l)/2 (1)
  
  Tam giác vuông cân Aah và (1) cho ta:
  
  |ah| = |Aa|√2 = [(a – l)/2]√2 = (a – l)/√2 (2)
  
  Do đó, điều kiện cần và đủ để cho abcdefgh là một hình bát giác đều là |ab| = |ah| (cạnh loại 1 = cạnh loại 2), nghĩa là:
  
  l = (a – l)/√2 (theo (2))
  
  Do đó:
  
  a – l = l√2 ==> a = l(1 + √2)
  
  Hay: l = a/(1 + √2). (3)
  
  Bán kính r của vòng tròn ngoại tiếp với hình bát giác đều abcdefgh sẽ là:
  
  r^2 = (a/2)^2 + (l/2)^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2[1/(1+√2)^2] (theo (3))
  
  = (a/2)^2[1 + 1/(1+√2)^2]
  
  = (a/2)^2[(1+3+2√2)/(3+2√2)]
  
  = (a/2)^2[(4+2√2)/(3+2√2)] = (a/2)^2[(4+2√2)(3-2√2)/(9-8)]
  
  = (a/2)^2[12 - 8√2 + 6√2 -8] = (a/2)^2[4 - 2√2] = (a^2/2)(2 - √2)
  
  = (a^2/2)(2-√2)(2+√2)/(2+√2)
  
  = a^2/(2 + √2). (Thấy lại kết quả của bạn NTT)
  
  Do đó, diện tích của vòng tròn (O, r) là ∏r² = ∏a²/(2+√2) = a²∏/(2+√2).
  
  Do đó: Diện tích (O, r)/ Diện tích ABCD = ∏/(2+√2) = 0.9201511845, nghiêm túc nhỏ hơn 1.
  
  Do đó vòng tròn (O, r) không phải là đáp số đúng của bài toán “Làm tròn hình vuông” vì diện tích của nó nghiêm túc nhỏ hơn (strictly smaller than) diện tích của hình vuông đã cho.
  
  Đáp số đúng phải là vòng tròn (O, s) với s lớn hơn r mà tôi sẽ cố tìm trong phần tiếp theo. Rất tiếc là vòng tròn này không thể kiến tạo được theo phương cách như đề ra của các toán gia cổ Hy Lạp. Lý do mà ngày nay ta đã biết là diện tích của vòng tròn dính vào số ∏, một số siêu việt (transcendental number).
• Comment Link lundi, 27 mai 2024 09:50 posted by Hoàng Trường Sa

  Trong ý kiến trước, tôi đã trình bày những Định lý (Theorems) của tác giả Trần Đình Sơn trong bài “Làm tròn hình vuông” (Circling the Square…). Trong 4 định lý này thì, theo tôi, Định lý 2 (Định lý PHÂN TÍCH – ANALYSIS Theorem) là định lý cốt lõi của bài báo. Định lý 1 có thể xem như là Bổ đề (Lemma) dùng để chứng minh Định lý 2. Các Định lý 3 và Định lý 4 là những kết quả đơn giản của Định lý 2. Chúng là những Hệ luận (Corollaries) của Định lý 2.
  
  Sau khi đọc kỹ bài báo, nhận định chủ quan của tôi như sau: Định lý 1 của tác giả hoàn toàn chính xác và được chứng minh nghiêm túc. Các Định lý 3 và Định lý 4 hiển nhiên đúng NẾU Định lý 2 (Định lý PHÂN TÍCH) đúng. Tuy nhiên, chứng minh của tác giả cho Định lý 2 tôi thấy không được thuyết phục.
  
  Do tính đối xứng của hình vẽ (từ sự kiện là vòng tròn (O,r) và hình vuông ABCD có chung tâm điểm O), dễ thấy là vòng tròn (O,r) và hình vuông ABCD tạo ra hai loại viên phân (circle segments) khác nhau. Loại 1 là những viên phân có dây cung là cạnh nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD (các cạnh ab, cd, ef, gh) và loại 2 là những viên phân có dây cung là cạnh đối diện với 4 góc vuông A, B, C, D và nằm kề với 4 cung-conic vuông Aah, Bcb, Ced, Dgf (tức là các cạnh ha, bc, de, fg). Các viên phân trong cùng một loại thì bằng nhau. Nhưng viên phân thuộc hai loại khác nhau không nhất thiết phải bằng nhau. Chúng chỉ bằng nhau khi abcdefgh là một hình bát giác đều, nghĩa là 8 dây cung bằng nhau. Kết quả trong đoạn c) của Định lý 1, theo tôi, là không đủ bảo đảm cho kết luận là những dây cung loại 1 và loại 2 bằng nhau, nghĩa là để kết luận rằng hình bát giác abcdefgh là một bát giác đều.
  
  Trong chứng minh của Định lý 2 tác giả đã sử dụng phần c) là các cung-conic vuông có cùng diện tích với các viên phân loại 1 để chứng minh rằng abcdefgh là một hình bát giác đều, và từ đó tác giả chứng minh hình bát giác này ngoại tiếp với vòng tròn (O, a/2) (Định lý 3).
  
  Giả sử Định lý 2 đúng thì ta có những kết luận sau đây: (i) Vòng tròn (O, r) có cùng diện tích a^2 với hình vuông ABCD; (ii) Hình bát giác abcdefgh là bát giác đều nội tiếp với vòng tròn (O, r); (iii) Vòng tròn (O, a/2) nội tiếp với hình bát giác abcdefgh và với hình vuông ABCD.
  
  Với giả sử Định lý 2 là đúng, tôi sẽ chứng minh rằng diện tích của cung-conic vuông Aah không thể bằng với diện tích của viên phân có dây cung ab. Điều này mâu thuẩn với Định lý 1 mà theo tôi là hoàn toàn đúng. Do đó Định lý 2 phải sai.
  
  Thật vậy, nếu abcdefgh là một bát giác đều thì cả 8 viên phân thuộc hai loại 1 và 2 đều bằng nhau, nên:
  
  Viên phân có dây cung ha = Viên phân có dây cung ab. (1)
  
  Do đó, hai viên phân trong (1) có chung diện tích, ta gọi là S.
  
  Ngoài ra:
  
  Diện tích cung-conic vuông Aah = Diện tích tam giác vuông cân Aah - Diện tích viên phân có dây cung ah = Diện tích tam giác vuông cân Aah - Diện tích viên phân có dây cung ab. [Vì 8 viên phân bằng nhau do abcdefgh là bát giác đều].
  
  Gọi T là diện tích của tam giác vuông cân Aah thì:
  
  Diện tích cung-conic vuông Aah = T – S. (2)
  
  Bằng phép chứng minh phản chứng (By contradiction), giả sử diện tích cung- conic vuông Aah = diện tích viên phân ab, tức là T – S = S, ta có:
  
  T = 2S. (3)
  
  Thế nhưng, dễ thấy (chi tiết sẽ ghi lại trong phần cuối):
  
  T = (a^2/4)(3 - 2√2). (4)
  
  S = (a^2/8) )[(∏ - 2√2)/(2 + √2) ] (5)
  
  Do đó, thế (4) và (5) vào hai vế của (3) ta có:
  
  (a^2/4)(3 - 2√2) = (a^2/4)[(∏ - 2√2)/(2 +√2)]
  
  Do đó:
  
  3 - 2√2 = (∏ - 2√2)/(2 + √2)
  
  Nên: (3 – 2V2)(2 + √2) = ∏ - 2√2.
  
  Khai triển vế bên trái, ta được:
  
  6 + 3√2 - 4√2 – 4 = ∏ - 2√2
  
  2 - √2 = ∏ - 2√2
  
  ∏ = 2 + √2. (6)
  
  Như trước đây, (6) chứng tỏ rằng ∏ là số đại số (vì là nghiệm số của đa thức có hệ số nguyên x^2 – 4x + 2). Điều này mâu thuẩn (contradict) với sự kiện ∏ là số siêu việt. Do đó, diện tích cung - conic vuông Aah khác với diện tích viên phân có dây cung là ab.
  
  Điều này phủ định phần c) của Định lý 2. Do đó Định lý 2 là sai.
  
  CHI TIẾT CÁC PHÉP TÍNH T VÀ S
  
  Hình vẽ được sử dụng trong phần chứng minh dưới đây là hình 9, trang 23 của tác giả Trần Đình Sơn như trong bình luận ngày 07/05/2024 của bạn NTT.
  
  Để tính T và S, ta sử dụng những kết quả trước đây:
  cos(22.5) = [√(2 + √2)]/2 ==> sin(22.5) = [√(2 - √2)]/2
  
  Gọi M là trung điểm của dây cung ha, và gọi L là chiều dài của dây cung của hình bát giác đều abcdefgh.Xét tam giác aOh, ta có:
  
  OM = |Oa|cos(22.5) = rcos(22.5) ==> a/2 = r[√(2 + √2)]/2. (vì OM = a/2)
  
  Do đó: r = a/√(2 + √2).
  
  L = 2|Ma| = 2|Oa|sin(22.5) = 2rsin(22.5)
  
  = 2[a/√(2 + √2)] [(√(2 - √2)/2] = a[(√(2 - √2)/(√(2 + √2)]
  
  = a[(√(2 - √2)(√(2 + √2)]/(2 +√2) = (a√2)/(2 + √2).
  
  Do đó, cạnh của tam giác vuông cân Aah là:
  
  |Aa| = (a – L)/2 = (1/2)[a - (a√2)/(2 + √2)] = a/(2 + √2).
  
  Diện tích của tam giác vuông cân Aah là:
  
  T = (1/2) |Aa|^2 = (1/2) a^2/(2 + √2)^2 = (a^2)/2(6 + 4√2)
  
  = (a^2/4)[1/(3 + 2√2) = (a^2/4)[1/(3+2√2)][(3 - 2√2)/ (3 - 2√2)]
  
  = (a^2/4)[(3 - 2√2)/(9 - 8)] = (a^2/4)(3 - 2√2).
  
  S = (1/8)diện tích vòng tròn (O, r) - diện tích tam giác aOh
  
  = (1/8) ∏r² - (1/2)L|OM| = (1/8) ∏r² - (1/2)[(a√2)/(2 + √2)](a/2)
  
  = (1/8) ∏ (a^2)/(2 + √2) – (a^2/4) (√2)/(2 + √2)
  
  = (a^2/8)[ ∏/(2 +√2) - 2√2/(2 + √2) ]
  
  = (a^2/8)[(∏ - 2√2)/(2 + √2)].
• Comment Link mardi, 21 mai 2024 11:37 posted by Hoàng Trường Sa

  Trong bài báo “Circling the Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024), của tác giả Trần Đình Sơn, sau khi định nghĩa Cung-Conic Vuông (Right Conical-Arcs) của một vòng tròn, tác giả chứng minh Theorem 1, trang 18, sau đây mà ông sẽ dùng để chứng minh Theorem 2 “ANALYSIS Theorem” (và những Định lý 3 và 4 tiếp theo) giúp ông cách giải bài toán:
  
  Định lý 1 (Theorem 1):
  
  Cho một hình vuông ABCD cạnh bằng a, tâm O. Giả sử có một vòng tròn (O,r) đồng tâm với ABCD và có diện tích ∏r² = a², thì
  
  a) Vòng tròn (O,r) cắt hình vuông ABCD tại 8 điểm a,b,c,d,e,f,g, và h;
  
  b) Hình vuông ABCD và vòng tròn (O,r) tạo ra 4 viên phân (circle segments) bằng nhau nằm chồng trên 4 cạnh AB, BC, CD, và DA của hình vuông ABCD và nằm ngoài hình vuông (Figure 2). Kết quả này chứng minh rằng diện tích của 4 Cung - Conic Vuông (Right Conical - Arcs) cũng bằng nhau;
  
  c) Diện tích của 4 Cung-Conic-Vuông tạo nên bởi 4 góc vuông A, B, C, D, và 4 cung tròn ha, bc, de, và ef thì bằng diện tích của 4 viên phân nói trong phần b trên đây.
  
  Định lý 2 (Định lý PHÂN TÍCH – ANALYSIS Theorem)
  
  Cho một hình vuông cạnh a, diện tích a². Nếu ta giả sử có một vòng tròn (O,r) đồng tâm với hình vuông ABCD và có diện tích ∏r² = a², thì bốn cạnh của hình vuông ABCD nằm trùng với 4 cạnh không kề nhau của một hình bát giác đều abcdefgh nội tiếp với vòng tròn (O,r).
  
  Định lý 3
  
  Hình bát giác đều trong Định lý 2 có vòng tròn (O, a/2) là vòng tròn nội tiếp, và vòng tròn này cũng là vòng tròn nội tiếp của hình vuông ABCD.
  
  Định lý 4 (Định lý về THƯỚC KIẾN TẠO – RULER Theorem)
  
  Vòng tròn (O,r), diện tích a^2 bằng với diện tích a^2 của hình vuông ABCD có cạnh a, và được đề cập trong Định lý PHÂN TÍCH trên đây, tạo ra (creates) vòng tròn nội tiếp (O,a/2) của hình vuông. Vòng tròn (O,a/2) này được gọi là THƯỚC KIẾN TẠO của bài toán “LÀM TRÒN HÌNH VUÔNG”.
  
  Chú thích: “Viên” là hình tròn (hay hình cầu), “Phân” là một phần. VIÊN PHÂN (circle segment) là phần của hình tròn nằm giữa cung tròn và dây cung.
• Comment Link samedi, 18 mai 2024 05:03 posted by Hoàng Trường Sa

  Trong bình luận ngày 07/05/2024, bạn NTT đã làm một bài toán đơn giản để chứng minh rằng kết quả trong bài “Làm tròn hình vuông”, tức là bài “Circling the Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024), của bạn Trần Đình Sơn là sai. Lý do đơn giản là diện tích của vòng tròn (O, r) trong kiến tạo của bạn Trần Đình Sơn không thể nào bằng diện tích a² của hình vuông ABCD, vì nếu ∏r² = ∏a²/(2+√2) mà bằng với a² thì ∏/(2+√2) = 1, một điều không thể có được, vì điều này mâu thuẩn (contradict) với việc ∏ là một số siêu việt (transcendental number).
  
  Ta có thể chứng minh như sau. Nếu ∏/(2+√2) = 1, thì ∏ = 2+√2, do đó:
  
  ∏ - 2 = √2 (1)
  
  Lấy bình phương hai vế của (1) ta có:
  
  (∏ - 2)^2 = ∏^2 - 4∏ + 4 = 2.
  
  Suy ra:
  
  ∏^2 - 4∏ + 2 = 0 (2)
  
  Do đó, ∏ là một số đại số (algebraic number) vì nó là một nghiệm số của đa thức bậc 2 có các hệ số 1, -4, 2 là những số nguyên. Điều này mâu thuẩn (contradict) với kết quả đã biết là ∏ là một số siêu việt (transcendental number), mà theo định nghĩa, là một số không phải là nghiệm của một đa thức có hệ số là những số nguyên (integers). Cần lưu ý rằng số đại số và số siêu việt là hai loại số đối nghịch nhau. Đã là số siêu việt thì không là số đại số, và ngược lại.
  
  Về số siêu việt, kính mời quý vị xem:
  
  https://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html
• Comment Link lundi, 13 mai 2024 20:42 posted by Trần Đình Sơn

  Có lẻ lần nầy là lần sau cùng tôi trả lời 2 bạn NTT và Hoàng Trường Sa, vì tôi không có nhiều thì giờ. Các bạn đã dùng phép tính toán calculus để tính bán kính r của vòng tròn (O,r) {hình số 9 trang 23}. Bán kính r nầy cũng là tia Oa = r của hình bát giác đều abcdefgh. Bạn NTT áp dụng lượng giác để tính thì r đó chỉ gần đúng chứ không phải là r chính xác 100% vì trị giá Cos(22,5 độ) là một irrational number. Bạn Hoàng Trường Sa dùng cách tính tọa độ thì cũng đụng phải 1 trỉ giá gần đúng là √2. Do đó cả haica1ch tính đó sẽ không cho ra 1 vòng tròn đúng 100% bằng với vòng tròn (O,r) mà tôi đã tạo ra theo phương pháp toán học "Hình Học Kiến Tạo" (Construction Geometry). Đây là vòng tròn có diện tích r²Pi = a², {với a là trị giá đúng của cạnh hình vuông cho sẵn}. Bán kính r của vòng tròn hình học kiến tạo (O,r) nấy không thể nào tính đúng 100% bằng calculus vì nó vướng con số Pi là một số gần đúng (nhân loại chưa bào giờ có con số Pi đúng 100%. Chính vì vậy mà nếu cho các bạn NTT và Hoàng Trường Sa một vòng tròn bán kính 5 cm và hòi bạn là vo2nh tròn (O, 5 cm) có diện tích "ĐÚNG 100%" là báo nhiêu thì chắc chắn là 2 bạn và kể cả các nhà toán học khác hay cá nhân tôi đều chịu thua không tìm ra cái diện tích "ĐÚNG 100%" đó, bởi vì conso61 Pi không phải là con số "ĐÚNG 100%" mà chỉ là con số ước lượng gần đúng.
  
  Chính vì vậy mà bài toán "circling the square" hay squaring the circle" phải giải bằng "Construction Geometry" mới tìm ra cái vòng tròn kiến tạo hình học (O,r) có diện tích đúng r²Pi = a², {a là cạnh hình vuông cho sẵn để làm cho nó tròn} nhưng bán kính r của vòng tròn (O,r) nầy không bao giờ tính ra "ĐÚNG 100%", mà chỉ có thể chứng minh nó có diện tích bằng a² "ĐÚNG 100%".
  
  Tôi nghĩ là 2 bạn Hoàng Trường Sa và NTT chưa hiểu đúng đầu đề của 2 bái toán "Squaring The Circle" và "Circling The Square" nên loay hoay mãi trong phép toán Calculus.
  
  Tôi lấy một câu trả lời trong bài giải của một học sinh lớp 8 (lớp đệ ngũ) ở trung học như sau: Ồ dể quá mà nếu phải làm tròn hình vuông có cạnh a thì hình tròn làm ra có diện tích là a², dễ quá mà !!!! Nhưng hỏi tiếp em học sinh đó làm sao em có thể dùng Compa vẽ ra "ĐÚNG 100%" cái hình tròn có diện tích a² đó thì em học sinh sẽ nói là mở compa với khẩu độ r = a√Pi/Pi, nhưng em học sinh đó loay hoay mãi mà không cách nào mở khẩu độ compa "ĐÚNG 100%" vì không có con số đúng √Pi/Pi.
  Cái ví dụ em học sinh nầy để 2 anh Hoàng Trường Sa và NTT hiểu đúng đầu đề của 2 bài toán "Squaring The Circle" và "Circling The Square". Hiểu đúng đấu đề sẽ không chọn phương pháp lý luận sai lầm như 2 comments trên kia của 2 bạn.