Thông Luận

Cơ quan ngôn luận của Tập Hợp Dân Chủ Đa Nguyên

Published in

Tư liệu

05/05/2024

"Làm tròn hình vuông"

Lan Tâm

Hệ quả chưa từng có sau lời giải của 3 bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp

Ngày 25/09/2023, Thông Luận đã loan tin "Ba bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp đã tìm được giải đáp" kèm với chú thích "Ba bài toán từ thời cổ Hy Lạp thách đố nhân loại hơn 2500 năm đã có được giải đáp chính xác năm 2023 nầy do một người Việt tại Vương quốc Anh tìm ra".

Ba bài toán khó nầy là "Gấp đôi khối vuông" (Doubling the Cube), "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) và "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle), thuộc lãnh vực toán hình học Euclide, được đề xuất lần đầu tiên bằng tiếng Hy Lạp cách đây hơn 2500 năm, vốn có ảnh hưởng cực kỳ lớn đến sự phát triển của hình học. Xưa kia Hy Lạp là quê hương của muôn ngàn những triết gia và nhà khoa học lừng danh. Cách đây hơn 2500 năm, Toán học bắt đầu phát triển mạnh về Hình học với các nhà toán học lừng danh như Euclide, Hypocrates, Pythagoras, Archimedes và Thales…

hinhhoc1

Cách đây hơn 2500 năm, Toán học bắt đầu phát triển mạnh về Hình học với các nhà toán học lừng danh như Euclide, Hypocrates, Pythagoras, Archimedes và Thales…

Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại cho toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, làm phát triển nhiều phương pháp Toán học và những chủ đề mới của Toán học. Trong số những chủ đề nầy có 3 vấn nạn toán học do Toán học cổ đại Hy Lạp đưa ra thách thức (challenge) nhân loại cách đây hơn 2500 năm và mãi cho đến năm 2022 vẫn chưa có nhà toán học nào phát minh được lời giải đúng. Đó là 3 thách thức Hình học cổ điển rất đơn giản và rất dễ hiều như sau :

1. Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle),

2. Chia ba một góc (Trisecting an Angle) và

3. Gấp đôi khối vuông (Double the Cube)

với điều kiện giới hạn là "chỉ được dùng thước thẳng (straight edge) và com-pa (compass) để kiến tạo đáp số (construct the solution).

Bất cứ ai học xong Hình học (Geometry) ở bậc trung học đều có thể hiểu 3 đầu đề nói trên, nhưng vì điều kiện giới hạn của 3 bài toán thách thức nầy mà chưa ai giải được nó trong suốt hơn 2 thiên kỷ rưỡi vừa qua.

Mãi cho đến năm nay 2023, một nhà toán học Việt Nam, ông Trần Đình Sơn, tỵ nạn tại Vương quốc Anh từ năm 1984 đã tìm ra được giải đáp đúng 100% (chứ không phải giải đáp gần đúng) cho 3 thách thức Toán học thiên niên kỷ (millennium challenge) nầy. Ba phát minh vĩ đại nầy đã được các viện quốc tế về Toán công nhận và xuất bản trên Tạp chí Quốc tế về Xu hướng và Công nghệ Toán học (The International Journal of Mathematics Trends and Technology, viết tắt là IJMTT) vào tháng 5, tháng 6 và tháng 8/2023 vừa qua.

Theo ông Trần Đình Sơn, 3 bài toán này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau và có cùng một chìa khóa để mở ra lời giải và chìa khóa đó nằm trong ý tưởng (idea) của Đạo Đức Kinh của triết gia Lão Tử (*) : "Đại Đạo rất là đơn giản, rất giản dị" !

Nhiều định chế toán học quốc tế đã xuất bản 3 công trình phát minh ra lời giải nói trên và truyền thông Anh ngữ (English media) cũng đã loan tin rầm rộ (xem phần tham khảo ở cuối).

 

Chia ba một góc

Phép "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) thành 3 phần bằng nhau là một bài toán cổ điển với yêu cầu chỉ sử dụng hai công cụ : thước thẳng (straightedge không chia độ) và compa (compass). Thật khó để đưa ra ngày tháng chính xác về thời điểm bài toán chia ba góc xuất hiện lần đầu tiên. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng Hippocrates, cũng đã nghiên cứu bài toán chia ba một góc, nhưng đã sử dụng một dấu trên thước thẳng để làm cho cây thước không còn là một thước thẳng nữa. Hầu hết các nhà sử học Toán học tin rằng nhiều kết quả đưa ra trong sách Bổ Đề thực sự là do Archimedes và kết quả trên đường xoắn ốc đưa ra về việc chia ba một góc rất phù hợp với tinh thần của tác phẩm nầy. Tuy nhiên, phép chia ba này của Archimedes không phải là một phương pháp chính xác và không sử dụng thước thẳng như đề toán nầy yêu cầu. Phương pháp khác do Nicomedes đưa ra sử dụng đường cong conchoid, nhưng đường cong này không thể vẽ chính xác và mang tính lý thuyết hơn là thực tế. Rõ ràng, cách chia ba góc của Hippocrates, Archimedes hoặc sử dụng conchoid của Nicomedes (khoảng năm 200 trước Công nguyên) là đúng nhưng không tuân theo "luật chơi" tức là sử dụng thước thẳng và compa. Có thể họ đã nghĩ ra đủ mọi cách nhưng không làm được nên phải tự nghĩ ra cách riêng để giải quyết vấn đề này. Về sau, có rất nhiều nỗ lực của các thế hệ nhà Toán học nối tiếp nhau đều không làm được nên họ đã nghĩ ra nhiều cách khác nhau và nhờ đó Toán học có cơ hội phát triển.

Nhà toán học Pháp là Pierre Wantzel đã chứng minh vào năm 1837 rằng bài toán, như đã nêu, không thể giải được với các góc tùy ý. Năm 1837, Wantzel công bố bằng chứng trên Tạp chí Liouville về "các phương pháp xác định xem một bài toán hình học có thể giải được bằng thước thẳng và compa hay không", và ông là người đầu tiên chứng minh việc chia ba một góc không thể giải được bằng thước thẳng và compa. Nhưng nhà toán học Việt Nam nầy đã sử dụng thước thẳng và compa để xây dựng đáp số và chứng minh có thể chia ba một góc tùy ý một cách đơn giản mà không cần sử dụng bất kỳ đường cong nào, với công cụ toán học là một số định đề & định lý hình học ở cấp Trung học. Kết quả nầy là một phản chứng (counter-proof) cho phương pháp của Pierre Wantzel. Kết quả của phát minh nầy là lời giải chính xác cho thử thách hàng ngàn năm "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) chỉ dùng một thước thẳng, một compa và các định đề & định lý Hình học ờ cấp Trung học Phổ Thông, chứ không hề dùng các phương pháp Toán phức tạp & khó khăn từ cấp Đại học trở lên. Do đó, bất cứ người nào đã học xong Toán Hình học ờ bậc Trung học cũng có thể đọc và hiểu được phát minh nầy (Tạp chí Toán học Quốc tế/IJMTT số ra ngày 17/06/2023).

 

Làm vuông hình tròn

Đáp án toán học cho bài toán "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) là phát minh thành công thứ hai của nhà toán học Việt Nam nói trên (Tạp chí Toán học Quốc tế/IJMTT số ra ngày 17/06/2023). Lịch sử của bài toán "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) bằng thước thẳng và compa đã có từ hàng thiên niên kỷ - trước 450 trước Công nguyên (gần 2.500 năm), theo Quanta, một tạp chí khoa học và toán học. Từ xưa cho đến nay, các bài toán liên quan đến số π đã thu hút sự quan tâm của vô số nhà chuyên môn toán và các nhà toán học không chuyên nghiệp.

 

Gấp đôi khối vuông

Trong hình học Euclide cổ điển, người ta đã chứng minh rằng việc "Gấp đôi khối vuông" (Doubling the Cube) bằng hai công cụ "thước thẳng & compa" là không thể. Điều không thể xảy ra này bắt nguồn từ thực tế là căn bậc ba của số 2 (cần thiết để gấp đôi khối lập phương) không thể tạo dựng (construct) được chỉ bằng thước thẳng và compa. Việc xây dựng yêu cầu tìm độ dài bằng căn bậc ba của số 2, là một số siêu việt (irrational). Nhiều nỗ lực khác nhau đã được thực hiện trong suốt lịch sử để giải quyết vấn đề, nhưng chúng liên quan đến các kỹ thuật toán học tiên tiến hơn ngoài các công trình cổ điển. Những phương pháp này thường liên quan đến các khái niệm đại số hoặc hình học vượt ra ngoài phạm vi của cách tạo dựng (construction) hình học bằng thước thẳng và compa truyền thống.

Cho đến năm 2022, không có giải pháp chính xác nào cho thách thức "Gấp đôi khối vuông" chỉ bằng thước thẳng và compa, dựa trên hình học Euclide cổ điển. Công bằng mà nói thì mặc dù bài toán "Làm vuông hình tròn" đã trở nên nổi tiếng nhất ở thời hiện đại, nhưng chắc chắn bài toán "Gấp đôi khối vuông" còn nổi tiếng hơn vào thời Hy Lạp cổ đại. Thử thách "Gấp đôi khối vuông" yêu cầu một phương pháp xây dựng một khối vuông có thể tích gấp đôi khối vuông đã cho. Điều đó có nghĩa là nếu thể tích khối vuông đã cho là 1 đơn vị thể tích 1 mét khối thì chúng ta phải tạo dựng một khối vuông có cạnh 2 từ khối vuông đơn vị đã cho này, chỉ sử dụng compa và thước thẳng. Việc tạo dựng khối vuông có cạnh 2 đã từng được cho là không thể thực hiện được theo những hạn chế đã nêu của hình học Euclide.

Bất chấp nỗ lực của nhiều nhà toán học, bài toán này vẫn chưa được giải quyết trong hơn hai nghìn năm và nó trở thành một trong những bài toán chưa giải nổi tiếng và hấp dẫn nhất trong lịch sử toán học. Nó vẫn được nghiên cứu trong các khóa học toán học như một vấn đề mang tính lịch sử và đầy thách thức, đồng thời lời giải của nó tiếp tục truyền cảm hứng và ảnh hưởng đến các nhà toán học cũng như sinh viên. Nhà toán học người Pháp Pierre Wantzel, 1837, đã chứng minh rằng không thể nhân đôi một khối vuông chỉ bằng thước thẳng và compa.

Nhưng trong phát minh thứ 3 nầy của nhà toán học Việt Nam nói trên về việc kiến tạo một khối vuông có thể tích gấp đôi một khối vuông cho sẵn, với một độ chính xác 100% đã được chứng minh cũng bằng Hình học ở cấp Trung học và đã được quốc tế thừa nhận và xuất bản cho toàn cầu vào tháng 8/2023 vừa qua. Các kết quả thu được có thể kết luận rằng tuyên bố về tính không thể của Pierre Wantzel không có giá trị về mặt hình học, vì nó không đưa ra mối quan hệ hình học giữa bậc hai và phần mở rộng bậc ba. Nhà toán học Việt Nam nầy đã tuân thủ nghiêm ngặt các ràng buộc trong việc sử dụng thước thẳng và compa để phát triển một phương pháp giải chính xác bài toán "Nhân đôi khối lập phương" bằng hình học theo một kỹ thuật đặc biệt (Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) ).

***

Làm tròn hình vuông (Circling the Square)

Sau gần một năm được các định chế quốc tế toán học xuất bản 3 phát minh đó, tác giả Trần Đình Sơn đã lập thêm một kỳ tích mới phát sinh từ 3 lời giải nói trên. Gọi là mới vì đề tài nầy phát sinh, vào tháng 1/2024 nầy, từ lời giải năm 2023 của 3 bài toán cổ Hy Lạp nói trên, chỉ khác là đặt vấn đề ngược lại với 1 trong 3 bài toán cổ "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) thành bài toán "Làm tròn hình vuông" (Circling the Square). Nói rõ hơn thì đề tài nghiên cứu nầy có tên là "Hãy dùng thước thẳng và com-pa kiến tạo một hình tròn có diện tích bằng đúng với hình vuông đã cho sẵn" (Use straightedge and compass to construct the circle that has exactly area equal to the given square).

tronhoahinhvuong1

Giải đáp phản ánh sự trung thực của bài toán (Trần Đình Sơn) - Ảnh minh họa 

Đề tài nghiên cứu đơn giản như vậy nên bất cứ ai đã học qua môn Hình học sơ cấp bậc trung học đều hiểu rõ đề tài rất dễ dàng. Tuy vậy, cái khó là chỉ được dùng phương pháp Hình học Kiến tạo (Construction Geometry) với 2 dụng cụ duy nhất là thước thẳng (straightedge) và compa (compass) để tạo hình tròn đúng chính xác 100% cho lời giải, chứ không được dùng Số học, Đại số học hay các phép tính trong toán học để giải. Bởi vì, tính toán chỉ cho ra kết quả gần đúng, chứ không đúng chính xác 100% do số Pi (p) và căn bậc 2 (square root) không phải là những số đúng (irrational number), nên không cho được kết quả đúng. Lời giải đúng và chính xác 100% cho thách thức mới nầy cũng đã được ông Trần Đình Sơn tìm thấy trong tháng Giêng năm 2024 nầy và đã được xuất bản quốc tế Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) .

Tóm lại, những bài toán thách thức cổ điển này cực kỳ quan trọng trong sự phát triển của hình học. Ba bài toán như vậy đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà hình học sau này đến nỗi chúng được gọi là những "bài toán cổ điển" vĩ đại : "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle), "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) và "Gấp đôi khối vuông" (Double the Cube". Vào năm 2023, chúng đã được giải quyết chính xác bởi một người Việt tỵ nạn thuộc thế hệ thứ nhất tại Vương quốc Anh và phát minh nầy đã được quốc tế thừa nhận & xuất bản như một phát minh Toán rất vĩ đại của thế kỷ 21. Tiếp theo đó nhà nghiên cứu toán học nầy đã mở ra một dự án (projet) mới cho ngành toán Hình học Euclide mà dự án nầy chỉ mới hình thành từ tháng Giêng 2024 do hậu quả phát sinh từ 3 phát minh trước đó của tác giả vào năm 2023 trước đó.

Bài toán "Làm tròn hình vuông" (Circling the Square) là bài toán đầu tiên của dự án đã được giải rõ và đã được quốc tế xác nhận (Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry - ijmttjournal.org). Theo nhận định của giới nghiên cứu toán học quốc tế thì dự án nầy gồm hơn một chục đề tài nghiên cứu như, ‘Làm vuông một ngũ giác đều ; Làm vuông một lục giác đều ; Chia hai một khối lập phương ; Làm tròn một ngũ giác dều ; Làm tròn một lục giác đều ; v.v. và v.v.

Đến tháng 4/2024 thì nhà toán học nầy đã được quốc tế đề cử làm ứng viên (candidate) cho 2 giải thưởng quốc tế là giải ABEL và giải ACM AWARD. Hiện giờ Google đã phổ biến các công trình phát minh nói trên khá rầm rộ trên Internet (xem trong Thư mục bên dưới).

Lan Tâm

(04/05/2024)

Chú thích : 

(*) Lao Tzu (Author of Tao Te Ching) : "The great Tao is very simple, very simple !" (Lão Tử - tác giả Đạo Đức Kinh : "Đại Đạo rất là đơn giản, rất giản dị").

Thư mục tham khảo :

[01] 1st Invention, "Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 22 May 2023, Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry (ijmttjournal.org)

[02] 2nd Invention, "Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 17 June 2023, 

[03] 3rd Invention, "Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 29 August 2023, Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)

[04] 4th Invention

* International Journal of Mathemathics Trends and Technology : "Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry", by Tran Dinh Son. IJMTT published date : 31 January 2024 Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)

* International Journal of Recent Advances in Multidisciplinary Reaserch - IJRAMR, published date : 30 March 2024. AbstractFull article paperCurrent Issue No. 4 

[05] Cornel Unversity Library , ZoteroBib : Fast, free bibliography generator - MLA, APA, Chicago, Harvard citations (zbib.org)

[06] Academia, (3) Son Tran - Academia.edu

[07] The Semantic Scholar, https://www.semanticscholar.org/me/library/all

[08] www.academia.edu › 103490898 › Exact_Angle Exact Angle Trisection with Straightedge and compass in Euclidean Geometry, Academia.edu , https://www.academia.edu/103490898/Exact_Angle_Trisection_with_Straightedge_and_Compass_by_Secondary_Geometry

[09] www.semanticscholar.org › paper › Exact-Doubling-the Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by ...

Aug 30, 2023, Tran Dinh Son. Published in International Journal of… 30 August 2023. Mathematics - This independent research shows an exact precision and accurate solution for the ancient Greek

[10] Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry

[11] Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry

[12] All article papers here 

[13] Dinh Son, Tran. ‘Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 70, no. 1, Jan. 2024, pp. 16–26. DOI.org (Crossref)

[14] Son, Tran Dinh. ‘Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 8, Aug. 2023, pp. 45–54. 

[15] ‘Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, June 2023, pp. 39–47, DOI.org (Crossref)

[16] ijmttjournal.org › public › assets Circling the Square with Straightedge and Compass in ... , Tran Dinh Son United Kindom. Corresponding Author : Cette adresse e-mail est protégée contre les robots spammeurs. Vous devez activer le JavaScript pour la visualiser. Received : 29 November 2023 Revised : 02 January 2024 Accepted : 16 January 2024 Published : 31 January 2024 Abstract - There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics which are extremely influential in the development of Geometry.

[17] International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, pp. 39-47, 2023. [ CrossRef ] [Google Scholar] [Publisher Link ].ijmttjournal.org › archive › IJMTT-V70I1P103 Circling the Square with Straightedge and Compass in... Tran Dinh Son,"Exact Squaring … with Straightedge and Compass by Secondary Geometry".

[18] ijmttjournal.org › archive › ijmtt-v69i6p506 Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Apr 16, 2023, Tran Dinh Son Abstract There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics, which are extremely influential in the development of geometry. They are "Trisecting An Angle", "Squaring The Circle", and "Doubling The Cube" problems.

[19] www.researchgate.net › publication › 372388943_Exact Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Jun 30, 2023, Download Citation | On Jun 30, 2023, Tran Dinh Son published Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry | Find, read and cite all the research you need on...

[20] www.academia.edu › 114992702 › Exact_Squaring_the Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ...

Keywords - Squaring the circle, Quadrature of the circle, Make a circle squared, Find a square area same as the circle, Circling the square, Make a square rounded. 1. Introduction Doubling a cube, trisecting an angle, and squaring the circle are the problems in geometry first proposed in Greek mathematics, which were extremely influential in the development of Geometry.

[21] www.academia.edu › 103490762 › Exact_Squaring_the Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Tran Dinh Son / IJMTT, 69(6), 39-47, 2023 Results of my independent research show that the square ABCD, constructed by compass & straightedge, has the exact area r², therefore if the given…

Quay lại trang chủ

Additional Info

  • Author: Lan Tâm
Read 1041 times

6 comments

  • Comment Link Hoàng Trường Sa samedi, 18 mai 2024 05:03 posted by Hoàng Trường Sa

    Trong bình luận ngày 07/05/2024, bạn NTT đã làm một bài toán đơn giản để chứng minh rằng kết quả trong bài “Làm tròn hình vuông”, tức là bài “Circling the Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024), của bạn Trần Đình Sơn là sai. Lý do đơn giản là diện tích của vòng tròn (O, r) trong kiến tạo của bạn Trần Đình Sơn không thể nào bằng diện tích a² của hình vuông ABCD, vì nếu ∏r² = ∏a²/(2+√2) mà bằng với a² thì ∏/(2+√2) = 1, một điều không thể có được, vì điều này mâu thuẩn (contradict) với việc ∏ là một số siêu việt (transcendental number).

    Ta có thể chứng minh như sau. Nếu ∏/(2+√2) = 1, thì ∏ = 2+√2, do đó:

    ∏ - 2 = √2 (1)

    Lấy bình phương hai vế của (1) ta có:

    (∏ - 2)^2 = ∏^2 - 4∏ + 4 = 2.

    Suy ra:

    ∏^2 - 4∏ + 2 = 0 (2)

    Do đó, ∏ là một số đại số (algebraic number) vì nó là một nghiệm số của đa thức bậc 2 có các hệ số 1, -4, 2 là những số nguyên. Điều này mâu thuẩn (contradict) với kết quả đã biết là ∏ là một số siêu việt (transcendental number), mà theo định nghĩa, là một số không phải là nghiệm của một đa thức có hệ số là những số nguyên (integers). Cần lưu ý rằng số đại số và số siêu việt là hai loại số đối nghịch nhau. Đã là số siêu việt thì không là số đại số, và ngược lại.

    Về số siêu việt, kính mời quý vị xem:

    https://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

  • Comment Link Trần Đình Sơn lundi, 13 mai 2024 20:42 posted by Trần Đình Sơn

    Có lẻ lần nầy là lần sau cùng tôi trả lời 2 bạn NTT và Hoàng Trường Sa, vì tôi không có nhiều thì giờ. Các bạn đã dùng phép tính toán calculus để tính bán kính r của vòng tròn (O,r) {hình số 9 trang 23}. Bán kính r nầy cũng là tia Oa = r của hình bát giác đều abcdefgh. Bạn NTT áp dụng lượng giác để tính thì r đó chỉ gần đúng chứ không phải là r chính xác 100% vì trị giá Cos(22,5 độ) là một irrational number. Bạn Hoàng Trường Sa dùng cách tính tọa độ thì cũng đụng phải 1 trỉ giá gần đúng là √2. Do đó cả haica1ch tính đó sẽ không cho ra 1 vòng tròn đúng 100% bằng với vòng tròn (O,r) mà tôi đã tạo ra theo phương pháp toán học "Hình Học Kiến Tạo" (Construction Geometry). Đây là vòng tròn có diện tích r²Pi = a², {với a là trị giá đúng của cạnh hình vuông cho sẵn}. Bán kính r của vòng tròn hình học kiến tạo (O,r) nấy không thể nào tính đúng 100% bằng calculus vì nó vướng con số Pi là một số gần đúng (nhân loại chưa bào giờ có con số Pi đúng 100%. Chính vì vậy mà nếu cho các bạn NTT và Hoàng Trường Sa một vòng tròn bán kính 5 cm và hòi bạn là vo2nh tròn (O, 5 cm) có diện tích "ĐÚNG 100%" là báo nhiêu thì chắc chắn là 2 bạn và kể cả các nhà toán học khác hay cá nhân tôi đều chịu thua không tìm ra cái diện tích "ĐÚNG 100%" đó, bởi vì conso61 Pi không phải là con số "ĐÚNG 100%" mà chỉ là con số ước lượng gần đúng.

    Chính vì vậy mà bài toán "circling the square" hay squaring the circle" phải giải bằng "Construction Geometry" mới tìm ra cái vòng tròn kiến tạo hình học (O,r) có diện tích đúng r²Pi = a², {a là cạnh hình vuông cho sẵn để làm cho nó tròn} nhưng bán kính r của vòng tròn (O,r) nầy không bao giờ tính ra "ĐÚNG 100%", mà chỉ có thể chứng minh nó có diện tích bằng a² "ĐÚNG 100%".

    Tôi nghĩ là 2 bạn Hoàng Trường Sa và NTT chưa hiểu đúng đầu đề của 2 bái toán "Squaring The Circle" và "Circling The Square" nên loay hoay mãi trong phép toán Calculus.

    Tôi lấy một câu trả lời trong bài giải của một học sinh lớp 8 (lớp đệ ngũ) ở trung học như sau: Ồ dể quá mà nếu phải làm tròn hình vuông có cạnh a thì hình tròn làm ra có diện tích là a², dễ quá mà !!!! Nhưng hỏi tiếp em học sinh đó làm sao em có thể dùng Compa vẽ ra "ĐÚNG 100%" cái hình tròn có diện tích a² đó thì em học sinh sẽ nói là mở compa với khẩu độ r = a√Pi/Pi, nhưng em học sinh đó loay hoay mãi mà không cách nào mở khẩu độ compa "ĐÚNG 100%" vì không có con số đúng √Pi/Pi.
    Cái ví dụ em học sinh nầy để 2 anh Hoàng Trường Sa và NTT hiểu đúng đầu đề của 2 bài toán "Squaring The Circle" và "Circling The Square". Hiểu đúng đấu đề sẽ không chọn phương pháp lý luận sai lầm như 2 comments trên kia của 2 bạn.

  • Comment Link Hoàng Trường Sa dimanche, 12 mai 2024 04:43 posted by Hoàng Trường Sa

    Trong bình luận ngày 07/05/2024, bạn NTT đã chứng minh rằng phương pháp làm tròn hình vuông trong bài “Circling the Square …” của tác giả Trần Đình Sơn là không thể dùng được vì diện tích vòng tròn (O,r) của TĐS khác với diện tích hình vuông ABCD đã cho, do ∏/(2+√2) ≠ 1.
    Chứng minh của bạn NTT rất giản dị, hoàn toàn chính xác, và dựa vào sự kiện là abcdefgh là một hình bát giác đều (do đã sử dụng góc 45 độ = 180/8 độ trong chứng minh), một kết quả trong bài của Trần Đình Sơn.

    Tôi xin kiểm chứng lại kết quả abcdefgh là một bát giác đều của bạn Trần Đình Sơn và công thức r² = a²/(2+√2) của bạn NTT bằng cách dùng Hình học giải tích. Cách này tuy có dài và luộm thuộm thực nhưng cũng giúp củng cố (re-inforce) thêm cho sự chính xác của kết quả của hai bạn TĐS và NTT.

    Sau đây, để tiện theo dõi, xin quý vị cảm phiền vẽ lại hình số 9, trang 23, trong bài “Circling the Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024), của Trần Đình Sơn.

    Hình bát giác abcdefgh được tác giả TĐS kiến tạo như sau. Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng a. Tác giả vẽ vòng tròn (O, a/2), tâm O, bán kính a/2, nội tiếp với ABCD. Từ 4 giao điểm của hai đường chéo AC và BD với vòng tròn (O, a/2), vẽ 4 đường tiếp tuyến của (O, a/2), cắt các cạnh của hình vuông ABCD tại những điểm a,b, c, d, e, f, g, h với a và b nằm trên AB, c và d nằm trên BC, e và f nằm trên CD và g và h nằm trên DA. Ta được hình bát giác (8 góc) abcdefgh gồm hai loại cạnh. Loại 1, có các cạnh nằm trên các cạnh của ABCD (đó là: ab, cd, ef và gh) và loại 2 gồm các cạnh đối diện với 4 đỉnh A, B, C. D của hình vuông (đó là các cạnh ha, bc, de và fg). Do tính đối xứng của hình vẽ, 4 cạnh trong loại 1 bằng nhau, và 4 cạnh trong loại 2 cũng bằng nhau. Để chứng minh abcdefgh là hình bát giác đều, ta phải chứng minh là các cạnh trong loại 1 cũng bằng các cạnh trong loại 2. Điều này tương đương với chứng minh rằng một cạnh trong loại 1 bằng với một cạnh trong loại 2.

    Gọi U và V, lần lượt là trung điểm của AB và BC, và gọi T là trung điểm của đoạn thẳng bc. Tôi sẽ chứng minh rằng |cT| = |cV|. Do đó 2|cT| = 2|cV|, và cạnh bc (của loại 2) bằng cạnh cd (của loại 1).

    Chọn OV làm trục x và OU làm trục y. Thì tọa độ của điểm V là:

    V = (a/2, 0). (1)

    Phương trình của đường chéo DB là y = x và phương trình của vòng tròn (O, a/2) là x^2 + y^2 = (a^2)/4. Do đó tọa độ (x,y) của giao điểm T của DB và vòng tròn (O,a/2) phải thỏa điều kiện:
    x^2 + x^2 = (a^2)/4  2x^2 = (a^2)/4  x = a/(2√2) và y = x = a/(2√2).

    Vậy tọa độ của T là:

    T = [a/(2√2), a/(2√2)]. (2)

    Vì đường thẳng bc là đi qua điểm T có độ dốc (gradient) bằng -1 (do bc // AC), phương trình của nó là:

    [y - a/(2√2)]/[x - a/(2√2)] = -1.

    Suy ra: y - a/(2√2) = -x + a/(2√2)  y = -x + a/(√2).

    Vậy phương trình của đường thẳng bc là y = -x + a/(√2).

    Cho x = a/2, ta được y = -a/2 + a/(√2) = [2a -a√2]/2(√2) = (a/2)[(2 - √2)/√2].

    Suy ra tọa của c là:

    c = {a/2, (a/2)[(2 - √2)/√2]}. (3)

    Do đó, bán kính r của vòng tròn (O, r) là r = |Oc| với:

    r^2 = |Oc|^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2[(2 - √2)/√2]^2 = [(a^2)/4][1 + (6 - 4√2)/2]

    = [(a^2)/4][1 + 3 - 2√2] = [(a^2)/4][4 - 2√2] = [(a^2)/2][2 - √2]

    = [(a^2)/2][2 - √2][2 + √2]/[2 + √2] = [(a^2)/2[2/(2 + √2)] = (a^2)/(2 + √2).

    Vậy ta tìm thấy lại kết quả r^2 = (a^2)/(2 +√2) của bạn NTT.

    Cuối cùng từ (2) và (3) dùng công thức tính khoảng cách hai điểm c và T ta có:

    |cT|^2 = [a/2 – a/(2√2)]^2 + [(a/2)(2 - √2)/√2 - a/(2√2)]^2

    = (a^2)/4{(1 – 1/√2)^2 + [(2 - √2)/√2 – 1/√2]^2}

    = (a^2)/4{[(√2 -1)/√2]^2 + [(1- √2)/√2]^2} = [(a^2)/4](3 - 2√2). (4)

    Từ (1) và (3) ta có:

    |cV|^2 = (a/2)^2[(2 - √2)/√2]^2 = [(a^2)/8](2 - √2)^2 = [(a^2)/8](4 + 2 - 2√2)

    = [(a^2)/4](3 - 2√2). (5)

    So sánh (4) và (5) ta được:

    |cT|^2 = |cV|^2  |cT| = |cV|.

    Vậy abcdefgh là một hình bát giác đều đúng như kết luận của bạn Trần Đình Sơn.

  • Comment Link Hoàng Trường Sa vendredi, 10 mai 2024 02:56 posted by Hoàng Trường Sa

    Nhận định của bạn NTT, theo tôi, là hoàn toàn chính xác.

    Dùng calculator kiểm chứng tôi thấy như sau:

    Pi = 3.141592654

    2 + √2 = 3.414213562



    Pi/ (2 + √2) = 0.9201511845 ≠ 1.

    Lưu ý là Pi nhỏ hơn 2 + √2 rất nhiều (3.14 so với 3.41).

    Luôn tiện để thấy trị chính xác của cos(22.5) tức là cos(45/2), ta áp dụng công thức

    cos(2x) = 2cos^2(x) – 1.

    Cho x = 45/2 = 22.5, thì 2x = 45, công thức này cho ta:

    cos(45) = 2cos^2(45/2) – 1.

    Nhưng cos(45) = (√2)/2, nên:

    2cos^2(45/2) – 1 = (√2)/2.

    Do đó: 2cos^2(22.5) = 1+ (√2)/2 = (2 + √2)/2.

    Do đó: cos^2(22.5) = (2 + √2)/4.

    Do đó: cos(22.5) = [√(2 + √2)]/2.

    Trong ý kiến tới, tôi sẽ tìm lại kết quả của bạn NTT bằng cách dùng hình học giải tích, dài hơn, nhưng làm được một công hai chuyện: Vừa chứng minh lại bằng cách khác rằng abcdefgh là một hình bát giác đều (như tác giả Trần Đình Sơn tìm thấy), vừa tìm ra lại kết quả của bạn NTT.

  • Comment Link Cường mercredi, 08 mai 2024 13:36 posted by Cường

    Tôi trước giờ chưa từng biết ba bài toán này hay ông Trần Đình Sơn, nhưng tôi không cần đọc bài toán hay bài giải, trong toán học chỉ có đúng hoặc sai, nếu Pierre Wantzel đã chứng minh rằng không thể thì Trần Đình Sơn chắc chắn sai, hoặc giả như ông này đúng thì làm gì có chuyện ông Wantzel chứng minh. Tác giả viết bài này rất mơ hồ, đọc sơ qua là biết người này chỉ gom lại một nhúm bài viết khác mà chả thèm tìm hiểu xem người ta viết cái gì, thậm chí chả viết bài giải vào đây.

  • Comment Link NTT mardi, 07 mai 2024 05:30 posted by NTT

    Trong phần bình luận ngày 8/4/2024 về bài “Ba bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp đã tìm được
    giải đáp” (Thông Luận 25/9/2023), tôi đã viết rằng cả ba bài “Exact Angle Trisection”, “Exact
    Doubling the Cube” và “Exact Squaring the Circle” của Trần Đình Sơn đều sai cả ba.

    Hôm nay tôi xin làm một bài toán để kiểm chứng bài "Làm tròn hình vuông”, tức là bài “Circling the
    Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024),
    cũng của Trần Đình Sơn.
    Kết quả của bài kiểm chứng dưới đây cho thấy phương pháp của Trần Đình Sơn là sai vì vòng tròn vẽ
    được sẽ có diện tích khác với diện tích của hình vuông tiền đề của bài toán.

    Dưới đây là chi tiết của bài toán kiểm chứng.
    Phương pháp làm tròn hình vuông được trình bày trong bài “Circling the Square...” nói trên ở các
    trang 23 và 24. Hình vẽ được sử dụng trong phần chứng minh dưới đây là hình 9, trang 23.
    Trước hết, cần ôn lại vài điểm về hình 9:
    - ABCD là hình vuông tâm O, mỗi cạnh bằng a, và là đối tượng để vẽ vòng tròn tâm O, bán kính r, gọi tắt là vòng
    tròn (O, r)
    - vòng tròn (O, a/2) là vòng tròn tâm O, bán kính a/2, nội tiếp của hình vuông ABCD
    - abcdefgh là hình bát giác đều, ngoại tiếp của vòng tròn (O, a/2), và dựa vào đó ta sẽ vòng tròn
    (O, r)
    - |Oa| = r là bán kính của vòng tròn (O, r).

    Nếu phương pháp “Circling the Square” là đúng thì diện tích (O, r) phải bằng diện tích ABCD = a².
    Gọi M là trung điểm của cạnh ah (một cạnh của hình bát giác đều abcdefgh), do đó |OM| = bán kính của
    vòng tròn (O, a/2) = a/2.
    Vì abcdefgh là hình bát giác đều, ∠aOh = 360°/8 = 45°. Do đó ∠aOM = 45°/2 = 22.5°.
    Ta có |Oa| = |OM|/cos(aOM) = (a/2)/cos(22.5°).
    Vì cos(22.5°) = √(2+√2)/2, ta có |Oa| = r = (a/2)/(√(2+√2)/2) = a/√(2+√2).
    Do đó r² = a²/(√(2+√2)² = a²/(2+√2).
    Do đó diện tích vòng tròn (O, r) = ∏r² = ∏a²/(2+√2) = a²∏/(2+√2).
    Vì ∏/(2+√2) ≠ 1, diện tích (O, r) ≠ diện tích ABCD = a².
    Do đó phương pháp làm tròn hình vuông được trình bày trong bài “Circling the Square with Straightedge and Compass” không thể sử dụng được vì sẽ cho kết quả không đúng. (Q.E.D.)

Viết bình luận

Phải xác tín nội dung bài viết đáp ứng tất cả những yêu cầu của thông tin được đánh dấu bằng ký hiệu (*)