Thông Luận

38 comments

• Comment Link vendredi, 26 avril 2024 13:25 posted by Hoàng Trường Sa

  Cho một góc UOV = bêta có số đo lớn hơn 0 độ và nhỏ hơn hoặc bằng 180 độ và gọi OS và OT là hai đường tam phân (trisectors) chia góc UOV thành 3 góc bằng nhau: Góc UOS = Góc SOT = Góc TOV. Thực hiện cách kiến tạo (cách vẽ) của tác giả Trần Đình Sơn như sau: Trên hai cạnh OU và OV lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB = p. Từ trung điểm M của đoạn thẳng AB, vẽ nửa vòng tròn (dưới) tâm M, đường kính AB, bán kính r = AM = MB. Nửa vòng tròn này cắt OS tại C và OT tại D. Nối các dây cung (arc chords) AC, CD và DB.
  
  Trong phần ý kiến này, tôi sẽ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để cho tứ giác ABDC là một nửa của hình lục giác đều có cạnh r (tức là ABDC là một Thước Tam Phân) là góc UOV phải là một góc vuông (bêta = 90 độ) hay là một góc bẹt (bêta = 180 độ). Nói cách khác, ABDC không phải là Thước Tam Phân nếu bêta có trị số khác 90 và 180 độ. Kết quả này tôi đã tìm thấy trước đây trong bình luận ngày 10/11/2023 nhưng tôi xin phép được trình bày lại một cách rõ ràng, nhất quán, và mạch lạc hơn dựa vào Mệnh Đề trong ý kiến trên của tôi.
  
  Trước hết, do tính đối xứng của hình vẽ, CD // AB, và đường thẳng OM là phân giác chung của hai góc UOV và SOT, và là trục đối xứng của hình vẽ. Đường thẳng OM sẽ thẳng góc với AB tại M và cắt thẳng góc với CD tại trung điểm N của CD.
  
  Gọi a = Góc SOM = Góc MOT, thì ta có: Góc UOS = 2a, Góc SOT = 2a, Góc TOV = 2a, Góc UOM = 3a, và Góc UOV = bêta = 6a. Vì bêta lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 180 độ, a sẽ lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 180/6 = 30 độ.
  
  Gọi h là chiều cao của tam giác cân AOB, nghĩa là h = OM. Tam giác AMO vuông góc ở M và có Góc AOM = 3a, AM = r và OM = h, ta có: h/r = OM/AM = cot(3a).
  
  Do đó, theo một công thức lượng giác quen thuộc của cot(3a), ta có:
  
  h = rcot(3a) = r[cot^3(a) – 3cot(a)]/[3cot^2(a) – 1].
  
  Trong đó cot^3(a) là lũy thừa 3 của cot(a), cot^2(a) là bình phương của cot(a).
  
  Gọi b = cot(a) thì:
  
  h = r[(b^3 – 3b)/(3b^2 – 1)]. (1)
  
  Vì a lớn hơn 0 và nhỏ hơn 30 độ, b = cot(a) lớn hơn hoặc bằng √3 (và nhỏ +vô cực)
  
  Theo Mệnh Đề trong ý kiến trước của tôi, tứ giác ABDC là một nửa hình lục giác đều có cạnh bằng r nếu và chỉ nếu CD = r. Lúc đó, tam giác CMD là tam giác đều có cạnh r, nên chiều cao MN của nó là: MN = r(√3)/2.
  
  Suy ra:
  
  ON = OM + MN = h + r(√3)/2 = r[(b^3 – 3b)/(3b^2 – 1)] + r(√3)/2 (Theo (1))
  
  = r[(b^3 – 3b)/(3b^2 – 1) + (√3)/2] = r[2(b^3 – 3b)/(3b^2 – 1) + √3]/2 (2)
  
  Ngoài ra: CN = CD/2 = r/2.
  
  Tam giác vuông CNO với Góc CON = a, cạnh CN = r/2, và cạnh ON = r[2(b^3 – 3b)/(3b^2 – 1) + √3]/2 sẽ cho ta:
  b = cot(a) = ON/CN = 2(b^3 – 3b)/(3b^2 – 1) + √3,
  
  mà sau khi khai triển và giản lược sẽ thành phương trình:
  
  b^3 – 3(√3)b^2 + 5b + √3 = 0 (3)
  
  Trong đó b lớn hơn hoặc bằng √3.
  
  Đổi biến số b = x + √3, thì:
  
  b^2 = x^2 + 2(√3)x + 3. (4)
  
  b^3 = x^3 + 3(√3)x^2 + 9x + 3(√3) (5)
  
  Thế (4) và (5) vào (3) và đơn giản, ta được:
  
  x^3 – 4x = 0. (6)
  
  Phương trình (6) có 3 nghiệm số là x = 0 , x = 2, và x = -2.
  
  Nghiệm x = 0 cho ta b = √3 = cot(a), suy ra a = 30 độ, suy ra UOV = 6a = 180 độ.
  
  Nghiệm x = 2 cho ta b = 2 + √3, suy ra a = 15 độ, và UOV = 90 độ.
  
  Nghiệm x = -2 cho ta b= -2 + √3 nhỏ hơn √3, nên bị loại bỏ.
  
  Tóm lại, chỉ có hai góc mà phương pháp chia 3 bằng compa và thước thẳng dùng Thước Tam Phân của Trần Đình Sơn có thể sử dụng được là góc vuông (90 độ) và góc bẹt (180 độ).
• Comment Link lundi, 22 avril 2024 13:11 posted by Hoàng Trường Sa

  Tôi xin trình bày một Mệnh đề toán hình học mà theo tôi sẽ giúp ta dễ nhận diện Thước Tam Phân của Trần Đình Sơn. Mệnh đề (Proposition) này rất giản dị như sau:
  
  MỆNH ĐỀ: Cho một nửa vòng tròn có đường kính AB, tâm M, bán kính r, và một dây cung (chord) CD song song với đường kính AB. Nối các dây cung AC và DB. Ta có những kết quả sau đây:
  1) AC = DB;
  2) Nếu một trong ba dây cung AC, CD, và DB có chiều dài bằng r, thì cả ba đều có chiều dài bằng r. Tứ giác ABDC là một nửa của hình lục giác đều có cạnh bằng r;
  3) Nếu một trong ba dây cung AC, CD, và DB có chiều dài khác r, thì cả ba đều dài khác r. Tứ giác ABDC không phải là một nửa của hình lục giác đều có cạnh bằng r.
  
  Chứng minh:
  1) Nối các bán kinh MC và MD. Vì MC = MD (= r), tam giác CMD là một tam giác cân, nên:
  Góc MCD = Góc MDC. (1)
  Thế nhưng, vì AB // CD, ta có:
  Góc AMC = Góc MCD (2) (góc so le trong)
  Góc DMB = Góc MDC (3) (góc so le trong)
  Từ (1), (2) và (3), ta suy ra:
  Góc AMC = Góc DMB.
  Vì hai góc ở tâm AMC và DMB bằng nhau, nên chúng chắn hai dây cung AC và DB bằng nhau.
  
  2) Giả sử AC = r. Thì theo phần 1, DB = AC = r. Do đó, hai tam giác AMC và DMB là hai tam giác đều. Suy ra: Góc AMC = 60 độ và Góc DMB = 60 độ. Suy ra: Góc CMD = 60 độ. Nên CD = r.
  Do đó AC = CD = DB = r.
  Bây giờ, giả sử CD = r. Tam giác CMD sẽ là tam giác đều. Nên Góc CMD = Góc MCD = Góc MDC = 60 độ. Suy ra, theo (2) và (3) trong phần 1:
  Góc AMC = 60 độ và Góc DMB = 60 độ.
  Do đó, các tam giác AMC và DMB cũng là tam giác đều có cạnh bằng r.
  Do đó, AC = CD = DB = r.
  Cuối cùng, giả sử DB = r, ta lặp lại chứng minh tương tự như trường hợp AC = r để kết luận AC = CD = DB = r.
  
  3) Trong chứng minh phần này, để dễ theo dõi tôi đặt:
  a = Góc CMD, b = Góc AMC = Góc DMB (theo kết quả của phần 1).
  Vậy: a + 2b = 180 độ (1)
  Giả sử AC ≠ r. Thì b ≠ 60 độ. Do đó 2b ≠ 120 độ.
  Suy ra từ (1): a = 180 - 2b ≠ 60 độ.
  Do đó CD ≠ r. Ngoài ra DB = AC nên DB ≠ r.
  Vậy cả ba AC, CD, và DB đều khác r.
  Bây giờ giả sử CD ≠ r. Thì a ≠ 60 độ.
  Suy từ (1): 2b = 180 – a ≠ 120 độ.
  Do đó b ≠ 60 độ. Suy ra AC ≠ r và DB ≠ r.
  Cả ba dây cung AC, CD và DB đều khác r.
  Trường hợp chót DB ≠ r cũng chứng minh tương tự như trường hợp AC ≠ r, để thấy cả ba dây cung AC, CD và DB đều khác r.
• Comment Link lundi, 08 avril 2024 21:18 posted by NTT

  Tôi rất lấy làm ngạc nhiên vì sao tác giả không trả lời trực tiếp những phê bình về 3 bài viết của mình, mà tác giả lại phải vòng vèo trả lời gián tiếp bằng những câu như:
  - Tôi rất tin tưởng là viện toán học quốc tế đã kiểm chứng rất kỷ và đã rà soát cẩn thận rồi mới cho International Journal Of Mathematics Trends & Technology xuất bản toàn cầu (bình luận 5/2/2024)
  
  hoặc
  - Có lẻ tôi nên post vào đây những định chế toán học quốc tế đã công nhận các phát minh của tôi ..., để các bạn Hoàng Trường Sa & NTT khỏi mất công lý luận (bình luận 7/4/2024).
  Làm như vậy người ta gọi là viện dẫn “Appeal to Authority Fallacy” đấy.
  
  
  Bạn Hoàng Trường Sa đã có khá nhiều bình luận cần tham khảo.
  Riêng phần tôi,
  - Trong bình luận ngày 28/10 / 2023 về bài “Exact Angle Trisection…” (IJMTT, Vol 69, Issue 5, 5/2023), tôi đã cho rằng chứng minh của tác giả trong Core Theorem (trang 13) là sai vì những điều tác giả nêu ra không đủ để kết luận là C’ cũng là một điểm nằm trên đường chu vi vòng tròn (A,r).
  
  - Trong bình luận ngày 22/12 / 2023 về bài “Exact Doubling the Cube…” (IJMTT, Vol 69,
  Issue 8, 8/2023, tôi đã cho rằng chứng minh ∛2 = (6 + √84) / 12 của tác giả là sai (trang 52, “Exact Doubling the Cube...”, International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 69, Issue 8, Aug 2023).
  
  - Trong bình luận ngày 6/2/2024 về bài “Exact Squaring the Circle…” (IJMTT, Vol 69, Issue 6, 6/2023) , tôi đã cho rằng nếu dùng Squaring Ruler để vẽ một hình vuông cho vòng tròn bán kính 1, thì diện tích của hình vuông sẽ là 2 + √2, chứ không phải là Π, cho nên Squaring Ruler của tác giả không thể dùng để vẽ một hình vuông cùng diện tích được.
  
  Tóm lại, cả ba bài viết của tác giả đều sai cả ba. Cho nên không có chuyện “Ba bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp đã tìm được giải đáp...”.
  
  Mong rằng tác giả sẽ chứng minh trực tiếp là những bình luận nói trên là đúng, hoặc là sai, thay
  vì là những trả lời dưới dạng “viện dẫn thẩm quyền”.
• Comment Link lundi, 08 avril 2024 06:10 posted by Hoàng Trường Sa

  Đính chính: Trong ý kiến ngày 07 avril 2024, khi tính b = Góc MCD, tôi gõ lầm một chữ. Thay vì “N” trong hàng dưới đây, tôi đã gõ sai là “M”. Xin lỗi quý vị và xin sửa lại như sau:
  
  b = Góc OCN – a = 80 – 17.50370475 = 62.49629525 độ.
  
  Xin cám ơn quý vị.
• Comment Link dimanche, 07 avril 2024 20:00 posted by Trần Đình Sơn

  Có lẻ tôi nên post vào đây những định chế toán học quốc tế đã công nhận các phát minh của tôi (3 trong năm 2023 và 1 trong Tháng Giêng 2024, để các bạn Hoàng Trường Sa & NTT khỏi mất công lý luận. Sau đây là các bằng chứng quo61c tế:
  LINKs/URLs
  1st Invention:
  “Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry”, by Tran Dinh Son.
  IJMTT published date: 22 May 2023
  https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I5P502
  Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry (ijmttjournal.org)
  
  2nd Invention:
  “Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry”, by Tran Dinh Son.
  IJMTT published date: 17 June 2023
  https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I6P506
  https://ijmttjournal.org/public/assets/volume-69/issue-6/IJMTT-V69I6P506.pdf
  3rd Invention:
  “Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry”, by Tran Dinh Son.
  IJMTT published date: 29 August 2023
  Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)
  https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I8P506
  4th Invention:
  “Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry”, by Tran Dinh Son.
  IJMTT published date: 31 January 2024
  https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V70I1P103
  Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)
  +++++++++++++
  
  LINKS IN CORNEL UNIVERSITY LIBRARY:
  https://zbib.org/e9e92f1859954477ab682066eb44558a
  ZoteroBib: Fast, free bibliography generator - MLA, APA, Chicago, Harvard citations (zbib.org)
  
  LINKS IN ACADEMIA:
  https://independent.academia.edu/SonTran534/Analytics/activity/documents
  (3) Son Tran - Academia.edu
  
  LINKS IN THE SEMANTIC SCHOLAR:
  https://www.semanticscholar.org/me/library/folder/9329017
  https://www.semanticscholar.org/me/library/all
  
  APPENDIX: Search Results from Google Search in February 2024:
  1. http://www.academia.edu › 103490898 › Exact_Angle Exact Angle Trisection with Straightedge and ... - Academia.edu
  Angle trisection is a classical problem of straightedge and compass construction from the ancient Greek mathematics. It concerns construction of an angle equal to one third of a given arbitrary angle, using only two tools: an unmarked straightedge. https://www.academia.edu/103490898/Exact_Angle_Trisection_with_Straightedge_and_Compass_by_Secondary_Geometry
  2. http://www.semanticscholar.org › paper › Exact-Doubling-the Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by ...
  Aug 30, 2023 • Tran Dinh Son. Published in International Journal of… 30 August 2023. Mathematics. - This independent research shows an exact precision and accurate solution for the ancient Greek. https://www.semanticscholar.org/paper/Exact-Doubling-the-Cube-with-Straightedge-and-by-Son/87e4b7f40f5e9a80a331d9c050bf5d0415363bd8
  
  3. Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry, https://www.semanticscholar.org/paper/Exact-Squaring-the-Circle-with-Straightedge-and-by-Son/5280a2679a972e439649923ed44f3227285fd342
  
  4. Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry,
  https://www.semanticscholar.org/paper/Circling-the-Square-with-Straightedge-and-Compass-Son/1323dde348861d74d6ca41f58b9b2bb51c9d0a20
  
  5. All article papers here.
  https://www.semanticscholar.org/me/library/all?utm_campaign=Welcome&utm_medium=email&_hsmi=222411121&_hsenc=p2ANqtz--G-YQFB7nnOztTEfhskJdW2rEeGs9yemuB2BlUHV3q9_bb672LEJAiPjTs1ys_lzSSQi22zQFunDpZvK13JtdpDoFjzwVANmmR5wdvZDkhj6Tgg9E&utm_content=222411121&utm_source=hs_automation
  
  6. https://zbib.org/e9e92f1859954477ab682066eb44558a
  
  7. Dinh Son, Tran. ‘Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 70, no. 1, Jan. 2024, pp. 16–26. DOI.org (Crossref), https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V70I1P103.
  
  8. Son, Tran Dinh. ‘Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 8, Aug. 2023, pp. 45–54. https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I8P506, DOI.org (Crossref), https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I8P506.
  
  9. ‘Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, June 2023, pp. 39–47. https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I6P506, DOI.org (Crossref), https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I6P506.
  
  10. ‘Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, June 2023, pp. 39–47. DOI.org (Crossref), https://doi.org/10.14445/22315373/IJMTT-V69I6P506.
  
  11. ijmttjournal.org › public › assets Circling the Square with Straightedge and Compass in ...
  
  12. Tran Dinh Son United Kindom. Corresponding Author : trandinhson2010@gmail.com Received: 29 November 2023 Revised: 02 January 2024 Accepted: 16 January 2024 Published: 31 January 2024 Abstract - There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics which are extremely influential in the development of Geometry.
  
  13. ijmttjournal.org › archive › IJMTT-V70I1P103 Circling the Square with Straightedge and Compass in ... Tran Dinh Son,"Exact Squaring The Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry," International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, pp. 39-47, 2023. [ CrossRef ] [Google Scholar] [Publisher Link ].
  
  14. ijmttjournal.org › archive › ijmtt-v69i6p506 Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Apr 16, 2023 • Tran Dinh Son Abstract There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics, which are extremely influential in the development of geometry. They are “Trisecting An Angle”, “Squaring The Circle”, and “Doubling The Cube” problems.
  
  1. http://www.researchgate.net › publication › 372388943_Exact Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Jun 30, 2023 • Download Citation | On Jun 30, 2023, Tran Dinh Son published Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry | Find, read and cite all the research you need on...
  
  2. http://www.academia.edu › 114992702 › Exact_Squaring_theExact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ...
  Keywords - Squaring the circle, Quadrature of the circle, Make a circle squared, Find a square area same as the circle, Circling the square, Make a square rounded. 1. Introduction Doubling a cube, trisecting an angle, and squaring the circle are the problems in geometry first proposed in Greek mathematics, which were extremely influential in the development of Geometry.
  3. http://www.academia.edu › 103490762 › Exact_Squaring_the Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Tran Dinh Son / IJMTT, 69(6), 39-47, 2023 Results of my independent research show that the square ABCD, constructed by compass & straightedge, has the exact area r², therefore if the given…
  4. ijmttjournal.org › current-issueI nternational Journal of Mathematics Trends and Technology
  Glass as a Construction Material and its Influence on the Comfort of Residential Spaces: Mathematical Mode. - Lisbeth A. Brandt-Garcia, Edgardo J. Suárez Domínguez, Rocio R. Gallegos-
• Comment Link dimanche, 07 avril 2024 00:06 posted by Hoàng Trường Sa

  Hôm nay tôi xin đưa ra một phản thí dụ để chứng minh đoạn sau đây trong bình luận của tôi ngày 17/03/2024: “…Tiếc thay, như bạn NTT đã nêu ra, chứng minh của tác giả trong Core Theorem là sai, và tứ giác ABDC thực ra không phải là một nửa của hình lục giác đều có cạnh bằng r (vì các cạnh AC, CD, và DB không bằng r)…”(Hoàng Trường Sa)
  
  Xét trường hợp góc UOV bằng 60 độ. Theo đúng cách kiến tạo của tác giả Trần Đình Sơn, trên hai cạnh OU và OV lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB = p = 2. Nối đoạn thẳng AB và gọi M là trung điểm của AB. Vì tam giác cân AOB có một góc 60 độ nên là tam giác đều, ta có AB = 2 (= OA = OB), và AM = MB = r = 1. Nửa vòng tròn tâm M bán kính r = 1 sẽ cắt hai đường tam phân OS và OT lần lượt tại C và D.
  
  Tôi sẽ dùng lượng giác học để tính chiều dài của AC, CD, và DB và chứng minh các cạnh này không bằng 1. Do đó tứ giác ABDC không phải là nửa dưới của một hình lục giác đều và sẽ không phải là một Thước Tam Phân (Trisection Ruler) theo định nghĩa của tác giả Trần Đình Sơn.
  
  Trước hết, vì tính đối xứng của hình vẽ, cạnh CD song song với cạnh AB, đường thẳng OM thẳng góc với AB tại M, và cũng là đường phân giác của góc COD. Đường này sẽ cắt CD tại trung điểm N của CD. Nối CM và DM. Ta có: Góc AOC = 20 độ, Góc COM = Góc MOD =10 độ. Góc DOB = 20 độ.
  
  Gọi a = Góc OCM và b = Góc MCD. Ta có Góc AMC = Góc MCD = b (Vì AB // CD). Áp dụng Luật Sin (Sine Rules) cho tam giác OCM, ta có:
  
  (Sin a)/√ 3 = (sin 10)/1 ==> sin a = √3sin 10 = 0.3007674664
  
  Suy ra: a = 17.50370475 độ ==> b = Góc OCM – a = 80 – 17.50370475 = 62.49629525 độ.
  
  Suy ra: CD = 2CN = 2cos(b) = 2cos(62.49629525) = 0.926119329.
  
  Gọi P là chân của đường cao MP của tam giác cân AMC, thì P là trung điểm của AC và Góc PMC = (Góc AMC)/2 = b/2 = 31.24814763 độ.
  
  Do đó: AC = 2PC = 2sin(b/2) = 2sin(31.24814763) = 1.037491237.
  
  Tóm lại, AC = 1.037491237, CD = 0.926119329, DB = 1.037491237. Cả ba đều khác với 1.
  
  Kết luận: ABCD không phải là Thước Tam Phân.
  
  
  CHÚ THÍCH: Nếu ta gọi C’ và D’ sao cho AC’ = C’D’ = D’B = 1 (nghĩa là ABD’C’ là Thước Tam Phân) thì C’ nằm bên trái của C (vì AC’ = 1 nhỏ hơn AC = 1.037491237) và D’ nằm bên phải của D (vì D’B = 1 nhỏ hơn DB = 1.037491237). Do đó Góc giữa C’OD’ có được khi dùng Thước Tam Phân sẽ lớn hơn Góc COD = 20 độ, như tôi đã tìm thấy trước đây.
• Comment Link jeudi, 21 mars 2024 12:12 posted by Hoàng Trường Sa

  Để giải bài toán nhân đôi khối lập phương, tác giả Trần Đình Sơn cũng áp dụng phương pháp PHÂN TÍCH. Giả sử bài toán đã giải xong và khối lập phương có cạnh là một số hữu tỷ a, thể tích a^3 , được nhân đôi thành khối lập phương có cạnh a∛2, thể tích 2a^3 . Tác giả đem khối lập phương nhỏ lồng vào trong khối lập phương lớn sao cho chúng có cùng tâm điểm và có các mặt (và các cạnh) song song với nhau. Vậy lỗ hổng bên ngoài khối nhỏ và bên trong khối lớn sẽ có thể tích là 2a^3 - a^3 = a^3. Lỗ hổng được lấp đầy bằng 6 hình chóp cụt (6 truncated pyramids, hay 6 frusta, hay 6 head-cut pyramids) bằng nhau, với đáy lớn là hình vuông cạnh a∛2, và đáy nhỏ là hình vuông cạnh a. Như vậy, mỗi hình chóp cụt sẽ có thể tích là (1/6)a^3 . Bằng cách tính thẳng thể tích của hình chóp cụt bằng công thức V = (1/2)(diện tích đáy lớn + diện tích đáy nhỏ) x (chiều cao), và cho V bằng (1/6)a^3 tác giả tìm ra công thức sau đây:
  
  ∛2 = (6 + √84)/12 (*)
  
  Công thức (*) là hệ quả mới mà tác giả dùng để đi ngược lại và chứng minh bài toán đã cho. Trước hết, nhân hai vế của (*) cho số hữu tỷ a, tác giả được:
  
  a∛2 = a(6 + √84)/12 (**)
  
  Tác giả chứng minh trực tiếp là ta có thể dùng compa và thước thẳng để tạo ra (vẽ ra) chiều dài của con số trong vế bên phải của (**). (Xem Theorem 01 và Theorem 02, trang 47 tới 49, trong bài báo của tác giả). Thực ra, vế bên phải này, ngay từ thời cổ Hy Lạp các toán gia Hy Lạp đã biết cách vẽ bằng compa và thước thẳng vì nó được tạo thành bằng các số hữu tỷ và căn bậc hai qua bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lấy căn bậc hai. Họ gọi những số đó là SURD. (Xem bài “Why Trisecting the Angle is Impossible” của Steven Dutch, https://www.cs.princeton.edu/~chazelle/courses/BIB/trisect.html ). Do đó, a∛2 là SURD và có thể vẽ được bằng compa và thước thẳng, và khối lập phương có cạnh bằng a∛2 cũng vẽ được. Như vậy bài toán đã được giải xong.
  
  Tuy nhiên, rất tiếc là, như bạn NTT đã chỉ ra, công thức tác giả dùng để tính thể tích của hình chóp cụt trên đây là sai. Công thức đúng phải như sau: Với hình chóp cụt (thẳng đứng) có đáy lớn là hình vuông cạnh A, và đáy nhỏ là hình vuông cạnh B, chiều cao là H, thể tích sẽ là: V = (1/3)(A^2 + B^2 + AB)H (Xem Cuemath https://www.cuemath.com/measurement/volume-of-a-truncated-pyramid/).
  
  Áp dụng công thức này cho trường hợp hình chóp cụt với A = a∛2, B = a, H = (1/2)(a∛2 - a), ta được V = (1/6)a^3 như đã biết trên đây. Do đó, sẽ không có công thức sai (*), và chứng minh của tác giả dựa vào nó cũng bị hỏng luôn. Thật tiếc vô cùng.
  
  Đọc hai bài báo của tác giả Trần Đình Sơn, tôi thấy tác giả viết rất lưu loát, hấp dẫn, dễ hiểu, trình bày đẹp mắt và công phu. Tục ngữ có câu “Thất bại là mẹ thành công”. Tôi rất mong tác giả không vì thất bại này mà nản chí, mà luôn vững tâm bước tới. Xin chân thành cầu chúc tác giả đi thật xa và gặt hái nhiều thành công trên con đường nghiên cứu toán học.
• Comment Link dimanche, 17 mars 2024 12:46 posted by Hoàng Trường Sa

  Tác giả Trần Đình Sơn đã can đảm ra công giải 3 bài toán cổ Hy Lạp nổi tiếng mà, trong 2000 năm qua, nhiều toán gia vĩ đại kể cả Archimedes cũng chịu bó tay. Ba bài toán này là nguồn gốc của phát triển lý thuyết số (number theory) từ các số đơn giản là số nguyên (natural numbers) và số hữu tỷ (rational numbers) lên các số phức tạp hơn là số vô tỷ (irrational numbers) và số siêu việt (transcendental numbers).
  
  Tác giả trung thành nghiêm túc với điều kiện đòi hỏi chỉ sử dụng compa và thước thẳng như các toán gia cổ Hy Lạp nêu ra. Phương pháp mà tác giả sử dụng, như tác giả cho biết trong một bài báo trên, là phương pháp PHÂN TÍCH (ANALYSIS) do các nhà hình học (geometers) nghĩ ra. Theo phương pháp này thì ta giả sử bài toán đã được giải xong, và từ đó tìm xem từ kết quả lời giải này, ta có tìm ra được hệ quả mới nào không. Sau đó, ta sẽ dùng hệ quả mới này để đi ngược lại để giải bài toán nguyên thủy. Phương pháp này, theo tôi, là hợp lý. Tuy nhiên, tất cả đều lệ thuộc vào sự kiện là khi đi tìm hệ quả mới ta có gặp sai sót gì trong lập luận hay không. Nói cách khác, là cái hệ quả mới này có đúng hay không. Nếu nó đúng, thì bài toán được giải là đúng và nghiêm túc. Nếu nó sai, thì lời giải cũng sai luôn.
  
  Vì tôi không đọc qua bài toán cầu phương vòng tròn (tức là vẽ hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn cho sẵn), tôi chỉ xin nói về 2 bài sau: Bài toán chia 3 một góc bằng compa và thước thẳng (tức là chia một góc cho sẵn ra thành 3 góc bằng nhau), và bài toán nhân đôi khối lập phương bằng compa và thước thẳng (tức là vẽ một khối lập phương có thể tích gấp hai thể tích của một khối lập phương cho sẵn).
  
  Về bài toán chia 3 một góc, tác giả Trần Đình Sơn giả sử một góc UOV (có số đo lớn hơn 0 độ và nhỏ hơn 180 độ) đã được chia ba thành 3 góc bằng nhau với hai đường tam phân OS và OT từ trái qua phải. Tác giả lấy lần lượt 2 đìểm A và B trên OU và OV với OA = OB = p. Kế đó, từ trung điểm M của AB ( với AM = MB = r), tác giả vẽ nửa vòng tròn bán kính r, cắt hai đường tam phân OS và OT lần lượt tại C và D. Tác giả chứng minh (trong Core Theorem) rằng tứ giác ABDC là nửa dưới của hình lục giác đều có cạnh bằng r (nghĩa là AC = CD = DB = r). Nói cách khác, tác giả chứng minh rằng các tam giác AMC, CMD, và DMB là những tam giác đều. Đây là hệ quả mới được suy ra. Tác giả gọi tứ giác ABDC này là Thước Tam Phân (Trisection Ruler). Từ đó, đi ngược lại, cho một góc UOV, ta chỉ việc vẽ Thước Tam Phân ABDC. Hai đường thẳng OC và OD có được khi nối đỉnh O với C và đỉnh O với D, sẽ chia ba góc UOV như ta mong muốn.
  
  Phương pháp này của tác giả Trần Đình Sơn thực nhanh chóng, giản dị và tuyệt vời và chỉ dùng compa và thước thẳng như đòi hỏi. Tiếc thay, như bạn NTT đã nêu ra, chứng minh của tác giả trong Core Theorem là sai, và tứ giác ABDC thực ra không phải là một nửa của hình lục giác đều có cạnh bằng r (vì các cạnh AC, CD, và DB không bằng r). Do đó, lời giải của tác giả là sai. Tôi cũng đã đưa ra phản thí dụ (counter example) là phương pháp của tác giả áp dụng cho góc 60 độ là không đúng, vì 3 góc chia nhỏ không bằng nhau. Tôi cũng đã chứng minh rằng phương pháp của tác giả chỉ đúng cho góc vuông (góc 90 độ) và góc bẹt (góc 180 độ).
  
  Tôi sẽ viết tiếp về bài toán nhân đôi khối lập phương cuả tác giả trong còm sau.
• Comment Link vendredi, 23 février 2024 05:12 posted by NTT

  >>> ”Trước hết tất cả comments phản biện dùng lượng giác (trionometry), Đại Số (Algebra) & Số Học (Arithmetics) để tính toán đều sai với tiêu chuẩn đòi hỏi của 3 bài tón cổ Hy Lạp nầy. Bời vì đòi hỏi của 3 bài đó là kiến tạo một hình có diện tích bằng đúng 100% hình cho sẵn...” (tác giả)
  
  
  Mục đích của tôi không phải là kiến tạo một cái gì cả.
  Mục đích của tôi là tìm hiểu cái đúng, cái sai, là kiểm chứng lại xem có thật là “Ba bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp đã tìm được giải đáp...” như tựa đề bài viết của tác giả hay không mà thôi.
  Nếu đúng là như vậy thì chúng ta đều cùng vui mừng với sự thành công của tác giả. Nếu không đúng như vậy thì đây cũng là một hình thức gián tiếp góp phần đính chính một thông tin không đúng sự thật cho tờ báo.
  Để làm được điều này tôi có quyền dùng đến bất cứ công cụ toán học nào, dù là hình học, hay lượng giác, hay đại số v.v..., chứ không nhất thiết là phải dùng đến thước thẳng hay compa mới là được.
  Việc đúng hay sai trong bài viết của tác giả là phụ thuộc vào chính nội dung bài viết của tác giả, chứ không phụ thuộc vào công cụ dùng để kiểm chứng.
  Các bình luận vừa qua đã dùng toán để chứng minh là cả 3 bài viết của tác giả đều sai. Không thể có chuyên vì các bình luận dùng đến “lượng giác, đại số & số học để tính toán” cho nên bài viết của tác giả dù sai vẫn là đúng được.
• Comment Link mardi, 06 février 2024 07:39 posted by Trần Đình Sơn

  Hôm nay tôi xin dành thì giờ để đáp ứng tất cả 26 Comments bên dưới bài báo ngày 25/09/2023 trên cơ quan truyền thông của Tập Hợp Dân Chủ Đa Nguyên.
  Trước hết tất cả comments phản biện dùng lượng giác (trionometry), Đại Số (Algebra) & Số Học (Arithmetics) để tính toán đều sai với tiêu chuẩn đòi hỏi của 3 bài tón cổ Hy Lạp nầy. Bời vì đòi hỏi của 3 bài đó là kiến tạo một hình có diện tích bằng đúng 100% hình cho sẵn chứ không được dựng hình gần đúng bằng đo lường theo phương pháp Lượng Giác, Đại Số hay Số Học, bởi vì các phương pháp nầy chỉ cho ra một kết quả gần đúng theo con số vô tỷ Pi (irrational number). Hơn nữa thước thẳng (Straightedge) là một dụng cụ không chia độ mm, cm hay dm nên khônng được dùng nó để đo lường (measure) trong chứng minh hay trong kiến tạo (constructive). Tất cả tiêu chuẩn đòi hỏi cho việc giải 3 bài toán nầy đều có ghi rõ trong các sách Toán thời cổ đại cũng như thời hiện đại.
  Do đó ma tôi chỉ dùng "kiến tạo bằng thước thẳng và compa" / contruction by straightedge & compass để lập ra lời giải và chứng minh lời giải đúng 100% bằng với hình cho sẵn. Độc giả không quen với kiến tạo học trong môn Toán thường đễ nhấm lẫn chỗ nầy.
  Trân trọng,
  Trần Đình Sơn